6.4. Объемные силы

Наличие объемных сил произвольной природы требует схемы интегрирования по всему объему тела. Однако в случаях, когда объемные силы либэ обусловливаются установившимся полем температурных градиентов, либо являются фильтрационными или центробежными силами, интегралы по объему от объемных сил можно свести к эквивалентным интегралам по поверхности. Следовательно, задача снова сводится лишь к интегрированию по границе.

6.4.1. Температурные деформации или фильтрационные градиенты

Во многих случаях необходимо проводить трехмерный анализ напряженного состояния тел с некоторым распределением температуры или гидравлического потенциала, который удовлетворяет следующему уравнению установившегося потенциального течения:

где либо равно нулю, либо постоянно по всей области. Полные напряжения в этом случае имеют вид [19—21]

где снова модуль сдвига и коэффициент Пуассона тела случае пористого тела эти постоянные имеют тот же смысл для скелета, соответствует тензору эффективных напряжений), для задачи фильтрации и в задачах о распределении температурных напряжений, где — коэффициент теплового расширения и модуль Юнга.

Полное поверхностное усилие записывается в виде

а условия равновесия — в виде

Теперь эти уравнения можно использовать для получения прямого и непрямого интегральных представлений при решении краевой задачи. Если заметить теперь, что второй член в (6.16) соответствует эквивалентной объемной силе, то прямое интегральное представление для смещений в любой внутренней точке можно записать в виде

где Используя теорему Гаусса —

Остроградского, объемный интеграл в (6.17) можно переписать следующим образом:

Подставляя (6.18) в (6.17) и используя (6.15) для исключения (видоизмененного усилия), получаем

Для аналогичной задачи о температурных напряжениях подстановка ядра функции смещений из (6.2) позволяет переписать объемный интеграл так:

где расстояние между точками x и

Для того чтобы преобразовать объемный интеграл в (6.19) и (6.20), отметим следующее свойство трехмерного оператора Лапласа [22]:

Используя (6.13) с и (6.21), можно переписать (6.20) в виде 122]

Теорема Гаусса — Остроградского, примененная к правой части (6.22), приводит к равенству

и поэтому (6.19) сводится к выражению

в котором все объемные интегралы преобразованы к эквивалентным интегралам по границе.

После этого (6.23) обычным способом переписывается для точки на границе. Для решения этого уравнения надо знать на границе потенциал и его нормальную производную которые могут быть получены из предыдущего решения основной задачи о потенциальном течении, рассмотренной в гл. 5. Эти замечания относятся также к случаю пористого тела, и различными будут только константы, стоящие перед вторым поверхностным интегралом в (6.23).

Ясно, что производные поля смещений, задаваемого уравнением (6.23), при подстановке в (6.14) приведут к напряжениям [22, 23]:

где

Для рассматриваемого здесь трехмерного случая тогда как в двумерном случае, рассмотренном в гл. Для трехмерного случая

В этих уравнениях дифференцирование проводится по переменной а нормаль вычисляется в точке х.

Используя эквивалентность прямого и непрямого представлений МГЭ, рассмотренную в разд. 3.6, получим из (6.19) эквивалентный интеграл смещений для непрямого представления

где объемный интеграл можно преобразовать к поверхностному указанным выше способом. Отсюда находим

Подставляя выражения (6.26) в соотношения между деформациями и смещениями и используя зависимость между напряжениями и деформациями, получаем «псевдонапряжения»

где совпадают с определенными выше , за исключением того, что дифференцирование проводится по х, а нормаль вычисляется в точке

Полное усилие на проходящей через точку х поверхности с внешней нормалью дается выражением

или

Устремляя в (6.26) и к точке границы как показано в гл. 4, можно получить два граничных интегральных уравнения, позволяющих при помощи непрямого МГЭ найти решение любой корректно поставленной краевой задачи.