2.4. Применение прямого метода граничных элементов

В прямом варианте МГЭ используются точно те же фундаментальные решения исходных дифференциальных уравнений, что и в прямом методе. И используются они совершенно аналогично, только само решение выписывается непосредственно в физических переменных задачи (фиктивные распределения потенциалов, сил и т. п. здесь не вводятся). Приятным обстоятельством при этом является то, что неизвестные граничные значения прямым МГЭ получаются непосредственно в процессе решения, однако построение решения во внутренних точках становится бэлее трудоемким, чем при использовании непрямого метода.

В следующих разделах мы снова найдем решения уже рассмотренных выше одномерных задач, используя на этот раз прямой метод. При этом для простоты, насколько это возможно не в ущерб ясности, значения и будем считать равными единице, по-прежнему длиной балки.

При численном решении задач удобнее сразу перейти к безразмерным переменным в исходном уравнении посредством замены:

где некоторый подходящим образом выбранный произвольный потенциал, характерный размер системы.

2.4.1. Одномерное потенциальное течение

Основное дифференциальное уравнение задачи можно записать в виде

где теперь — заданное распределение интенсивности источников вдоль оси х, а скорость есть просто Чтобы выяснить возможность интегрирования уравнения (2.19) на отрезке введем функцию от которой потребуем пока лишь непрерывности и дифференцируемости нужное число раз.

Если мы умножим обе части (2.19) на и дважды проинтегрируем по частям, то получим [4]

Предположим теперь, что является решением уравнения

где дельта-функция Дирака (или импульсная функция), которая здесь соответствует сосредоточенному источнику единичной интенсивности, помещенному в точку с. Основное свойство дельта-функции заключается в том, что она равна всюду нулю, за исключением окрестности точки где она становится неограниченно большой таким образом, что [4, 5]

Дельта-функция, следовательно, является оператором со свойством «избирательности», «иглой» (рис. 2.10), выкалывающей определенные значения, скажем функции что выражается соотношением

Рис. 2.10.

Если мы подставим правую часть уравнения (2.21) и (2.20), то получим

что с учетом указанного выше свойства оператора упрощается

Наша функция являющаяся решением уравнения (2.21), в точности совпадает с заданной выше уравнением (2.5а) при фундаментальным сингулярным решением основного дифференциального уравнения); таким образом,

и

где, как и ранее, расстояние при Если мы выберем произвольный размер и вспомним, что скорость то сможем переписать уравнение (2.22) в виде

или

Уравнение (2.24) связывает значение потенциала в произвольной внутренней точке области с заданным распределением внутренних источников и граничными значениями потенциала и скорости В случае одного точечного источника расположенного в точке рассматриваемой области, интеграл в правой части уравнения (2.24) превращается в произведение

Дифференцируя по получаем

или в символической форме

где — производные от и т. д. по Уравнение (2.25) связывает скорость в произвольной точке наблюдения с граничными значениями потенциала и скорости и известным распределением внутренних источников.

Совмещая теперь точку наблюдения с граничными точками (см. рис. 2.3), так что для для мы можем использовать уравнение (2.24) и записать

Подставляя сюда значения из уравнений (2.23) и переходя к пределу при получаем

или

Уравнения (2.266) позволяют вычислить первоначально неизвестные граничные значения и (или) для нашей одномерной Области по их известным значениям и например

1) при заданных и из уравнений (2.266) находятся неизвестные значения

2) при заданных находятся неизвестные значения

3) при заданных или находятся неизвестные значения или соответственно.

Если теперь мы обратимся к нашей исходной задаче, представленной на рис. 2.1 (здесь и точечный источник интенсивности находится на расстоянии от левого конца), то уравнения (2.26) примут вид

или

что согласуется с уравнениями (2.3). Значения потенциала и скорости в выделенных внутренних точках можно найти по формулам (2.24) и (2.25) соответственно после подстановки в них значений

С другой стороны, для задачи со смешанными граничными условиями, представленной на рис. 2.6 (а именно когда и точечный источник интенсивности находится на расстоянии от левого конца), уравнение (2.266) можно записать в виде

решение этой системы

совпадает с результатом, полученным ранее непрямым методом. Формулы (2.24) и (2.25) снова могут быть использованы для вычисления значений потенциала и скорости в произвольной внутренней точке I путем подстановки в них найденных граничных значений.

2.4.2. Задача о балке

Основное дифференциальное уравнение задачи при имеет вид

где вертикальное отклонение (прогиб) продольной оси балки, а — интенсивность распределенных вертикальных нагрузок. Как и ранее, умножим обе части уравнения (2.27) на достаточно гладкую функцию и проинтегрируем по частям; имеем

и, следовательно,

В прямом варианте МГЭ снова требуется, чтобы функция была решением основного дифференциального уравнения для неограниченной области (на этот раз для бесконечно длинной балки) при единичной нагрузке (т. е. при единичной сосредоточенной силе, приложенной в точке Таким образом, является решением уравнения

Ясно, что вид функции совершенно аналогичен виду смещения поэтому далее мы отождествим с некоторым (вертикальным) смещением и будем использовать для соответствующих величин угла поворота, изгибающего момента и т. д. обозначения где Уравнение (2.28) в этих обозначениях принимает вид

и фактически является записью принципа виртуальных перемещений для нагруженной балки.

Интегрирование уравнения (2.28) еще два раза по частям дает

или в других обозначениях, основанных на тождестве

Уравнение (2.31) означает, что работа сил системы 1 (реальной системы) на перемещениях системы 2 (некоторой другой допустимой системы, которой соответствуют переменные, отмеченные звездочкой) равна работе сил системы 2 на перемещениях системы 1 (этот результат хорошо известен как теорема взаимности, принадлежащая Бетти [6]). Мы могли бы воспользоваться этой теоремой или принципом виртуальных перемещений в качестве отправной точки для получения нашего решения, однако более общий подход, остающийся одинаковым во всех рассматриваемых задачах, основан на использовании уравнений типа (2.27) и (2.29). Уравнение (2.31) с учетом (2.29) и основного интегрального свойства дельта-функции переходит в уравнение

аналогичное (2.22).

Заметим теперь, что, согласно нашему требованию, выражение (2.12а) при является решением уравнения (2.29), т. е.

Дифференцирование (2.33а) по х дает

где некоторое расстояние, выбранное так, что при (ср. с уравнениями (2.12)). Для удобства мы снова положим Нам потребуются также функции производные по Имеем

Подставляя выражения в уравнение (2.32), получаем

или

Уравнение (2.35) связывает поперечное смещение в произвольной внутренней точке I с граничными значениями перерезывающей силы, изгибающего момента, угла поворота и перемещения при заданном распределении интенсивности внутренних нагрузок Дифференцируя уравнение (2.35) по и используя уравнения (2.34а) — (2.34г), находим

где — производные по I функций

Если бы мы захотели поместить в точку сосредоточенный момент интенсивности проще всего было бы воспользоваться предельным представлением этого момента в виде пары поперечных сосредоточенных сил, как показано на рис. 2.11. Выбирая, как и ранее, точку наблюдения I на границах таким образом, что

Рис. 2.11.

с помощью уравнений (2.35) и (2.36) мы можем найти связь между всеми граничными значениями и приложенными нагрузками в виде

Матричное уравнение (2.37) объединяет четыре уравнения, связывающих восемь граничных значений параметров задачи при известную интенсивность приложенной нагрузки. В корректно поставленной задаче четыре и- этих граничных значений должны быть заданы, и тогда уравнение (2.37) позволяет найти остальные.

Снова советуем читателю внимательно изучить вид уравнения (2.37). Хотя применительно к простым одномерным задачам вся процедура получения решения выглядит весьма непривлекательно, важно убедиться в том, что уравнения типа (2.37) и (2.26а) могут быть получены стандартным образом и что элементы матриц являются всего лишь числами, полученными простой подстановкой координаты в различные сингулярные решения Одно из основных достоинств МГЭ состоит в том, что независимо от сложности геометрии задачи граничные условия в каждом граничном элементе можно связать набором уравнений указанного типа,

получаемых с помощью унифицированной процедуры с использованием фундаментальных решений, так что даже значительное усложнение задачи не приводит к усложнению алгоритма построения решения.

Теперь, возвращаясь к нашей задаче о подпертой консоли, для которой внешние нагрузки равны нулю и перепишем уравнение (2.37) так:

Подставляя сюда выражения получаем уравнение

которое может быть преобразовано таким образом, что его матрица не будет содержать нулевых диагональных элементов:

Решение этого уравнения имеет вид

и совпадает, естественно, с решением, полученным непрямым методом.

Как только вычислены все восемь граничных значений параметров, смещения и углы поворота в любой внутренней точке находятся обратной подстановкой их в выражения (2.35) и (2.36). значения изгибающего момента и перерезывающей силы в той же точке I также могут быть найдены подстановкой

граничных значений в выражения, сходные с (2.36) и получаемые из (2.36) дальнейшим дифференцированием по и