4.5.3. Численное решение

Используя данные о геометрии поверхности и внутренних ячеек, можно еще раз использовать уравнения (4.45) и (4.46) для вывода системы уравнений, связывающей известные и неизвестные компоненты усилий и смещений и на границе области. Таким образом, получаем

Здесь, как и прежде, индексы означают, что эти величины были получены по значениям, заданным на поверхности и в объеме соответственно; суть -мерные вектор-столбцы, составленные из значений смещений и усилий соответственно в N узлах на поверхности; суть -мерный вектор-столбец, составленный из значений известных объемных сил, взятых в внутренних узловых точках; матрицы коэффициентов размером матрица коэффициентов размером а свободный член в (4.45), содержащий включен в диагональные коэффициенты матрицы Если на границах определены усилия, то (4.54) переписывается в виде

где правая часть известна, и, следовательно, может быть вычислено С другой стороны, если известны смещения, то

откуда можно вычислить усилия. Для более общей смешанной граничной задачи (4.54) удобнее представить в виде

где а — масштабирующий коэффициент, который преобразует

коэффициенты матрицы таким образом, что они оказываются величинами того же порядка, что и коэффициенты матрицы Помещая в левую часть уравнения (4.55) коэффициенты этих матриц, можно написать

Здесь матрица коэффициентов размером есть -мерный вектор-столбец, составленный из компонент неизвестных усилий и смещений на границе, матрица коэффициентов размером есть -мерный вектор-столбец, составленный из компонент известных усилий и смещений на границе.

Из решения уравнения (4.56) получаем неизвестные усилия и смещения. После этого полный набор заданных и вычисленных значений усилий и смещений на границе вместе с заданным распределением объемных сил может использоваться для получения смещений, деформаций и напряжений в любой из последовательно выбранных внутренних точек при помощи (4.51), (4.52) и (4.53) соответственно. Задачи со многими зонами могут быть решены при помощи процедуры, описанной в гл. 3.