7.3. Непрямые методы

7.3.1. Концепция независимых кратных узлов

Основным источником затруднений в непрямом методе является бесконечная величина распределения источников в угловом узле; поэтому для углов должна использоваться концепция кратных независимых узлов, описанная в разд. 7.2.3. Она должна быть использована для всех типов граничных условий, но в тех случаях, когда в угловом узле заданы или (для задач о потенциальном течении), или (для задач теории упругости), обычно получаются неудовлетворительные численные результаты для или в близких к углу точках.

Распределение источников должно быть разрывно в том узле на гладком участке границы, о котором известно, что в нем

имеется разрыв напряжений (например, в вершине трещины в задаче о краевой трещине.

7.3.2. Другие методы

Некоторые исследователи [9—11] предложили использовать специальный набор ядер, заранее удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и определенным граничным условиям в угловой точке.

Рис. 7.3. L-образная область с входящим углом, а — граничные условия; б - дискретизация МГЭ.

Например, в окрестности входящего угла -образной области, показанной на рис. 7.3, мы имеем

где внутренний угол, в настоящем случае равный

Каждый из членов разложения (7.18) удовлетворяет дифференциальному уравнению и поэтому (7.18) можно использовать для дополнения непрямой формулировки, которая, если использовать ее отдельно, может дать неприемлемые результаты вблизи угла, которому соответствует особенность решения.

Исследование такого типа можно осуществить, записав интегральное представление потенциала в виде

здесь дополнительное решение (7.18) в окрестности углового узла, где фиктивная плотность предполагается равной нулю.