3.10. Примеры решенных задач

Чтобы продемонстрировать основные возможности и точность МГЭ применительно к двумерным задачам о потенциальных течениях, мы завершим главу четырьмя примерами решений возрастающей сложности.

Эти примеры взяты из работы Томлина [8], и первый из них относится к тестовой задаче с хорошо известным аналитическим решением, а именно к задаче о течении под основанием непроницаемой плотины, находящейся на поверхности изотропного грунта, при заданном перепаде гидравлического потенциала (напора) в 100 единиц.

Рис. 3.13.

Линии тока, отвечающие решению, являются дугами эллипса, поэтому, если мы исказим одну из них путем линейного растяжения в 2.5 раза вдоль некоторого направления, как показано на рис. 3.13, и используем ее в качестве внешней непроницаемой границы, то получим очень удобную тестовую задачу для анизотропного материала (скажем, имеющую точное решение. Если затем разделить эту область произвольно, например, на пять зон, то сможем одновременно проверить точность алгоритма для зонально-однородных сред, описанного в § 3.8. Именно это и сделал Томлин; решения, полученные им непрямым МГЭ при постоянном распределении вдоль каждого элемента, показаны на рис.

В одном случае (рис. 3.14, а) для определения эффекта от каждого элементарного источника Томлин использовал значения потенциала в средних точках каждого элемента наблюдения, как это описано в настоящей главе, в другом (рис. 3.14, б) для этой цели им была разработана методика использования средних значений потенциала, создаваемого на каждом элементе. Сравнение двух результатов показывает лишь незначительное увеличение

Рис. 3.14. (см. скан)

точности за счет описанной модификации. В большей части области расхождение между численным и аналитическим решениями для потенциала составляет менее 1% полного перепада напора на плотине с максимальной погрешностью порядка 2% под ее основанием. Томлин использовал восемь граничных элементов под основанием плотины, а полное число элементов было равно 74, из которых 21 находился на внутренних границах, что привело к конечной матрице коэффициентов размеров и времени получения решения на вычислительной машине порядка при этом использовался объем оперативной памяти

На рис. 3.15 показаны распределения потенциала под основанием плотины, отвечающие четырем численным решениям и соответствующему аналитическому. Два решения, полученные МГЭ, уже упоминались выше; кроме того, приведены результаты решения методом конечных разностей на треугольной сетке и решения, полученного дальнейшей модификацией МГЭ с однородными распределениями потенциала вдоль каждого граничного элемента (в противоположность однородным распределениям интенсивностей источников).

Рис. 3.15.

Таким образом Томлин решил несколько задач и показал, что последняя модификация МГЭ (с однородными распределениями потенциала) является менее удобной в использовании и приводит к некоторому снижению в точности.

Третий и четвертый примеры этого раздела являются аналогичными; оба они связаны с течением под основанием плотины в неоднородных пластах из зонально-анизотропного материала. На рис. 3.16 и 3.17 показаны распределения потенциала и направления линий тока, полученные непрямым МГЭ; для сравнения здесь же пунктиром изображены эквипотенциали, получаемые с помощью конечно-разностного метода Томлина для треугольной сетки. Снова типичные расхождения между двумя решениями оказываются порядка 1% полного перепада напора на плотине и возрастают примерно до 4% вблизи особых точек, находящихся в углах основания плотины и в концах шпунтов. Из всех рассмотренных нами решений двумерных задач о потенциальных течениях, полученных с помощью МГЭ, последние являются наиболее нетривиальными, тем

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

не менее соответствующие им вычислительные затраты оказываются весьма скромными. Для задачи, представленной на рис. 3.16, был использован 131 линейный элемент, включая 77 на внутренних границах двенадцати зон; полученная при этом матрица коэффициентов имела размер и требовала объем памяти в 31 К, а время расчета на ЭВМ ICL 1907 составляло порядка

Для девягизональной задачи с экранирующими шпунтами (рис. 3.17) соответствующие цифры были таковы: 105 элементов с 43 на внутренних границах, размер матрицы объем памяти 27 К и время порядка Другие примеры можно найти в работах [3, 4, 6—9, 14—17]; все они демонстрируют высокую точность решений, полученных МГЭ, и их экономичность в вычислительном отношении.