3.5. Прямой метод граничных элементов для однородной области

Начнем мы снова с основного дифференциального уравнения, эквивалентного (2.19) и имеющего в двумерном случае вид

где теперь заданное распределение интенсивностей источников в области А, отвечающей нашей задаче. Поток в произвольной точке снова находится как т. е. мы считаем, что исходная анизотропная область уже переведена при помощи геометрических преобразований (§ 3.2) в эквивалентную изотропную область с проницаемостью

Последующий анализ является обобщением проведенного в разд. 2.4.1 с той лишь разницей, что теперь двухточечная функция, удовлетворяющая уравнению

Здесь двумерная дельта-функция Дирака, равная если не совпадают все соответствующие компоненты При обладает свойством «избирательности», так что, например,

т. е. при интегрировании по А произведения в левой части этого уравнения в качестве единственного ненулевого слагаемого «выбирается» значение в заданной точке Функция удовлетворяющая уравнению (3.24), является известным сингулярным решением для потенциала, создаваемого в точке единичным точечным источником, находящимся в точке неограниченного двумерного тела (см. уравнение (3.4), воспроизведенное ниже):

Для определения обусловленной потенциалом составляющей скорости в направлении единичного вектора с компонентами в точке нам потребуется также функция (см. уравнение (3.66))

Умножим теперь обе части уравнения (3.23) на и проинтегрируем дважды по частям по области А (ср. с разд. 2.4.1). При этом снова получится выражение для через величины, заданные на границе , и производные функции Так как операции такого типа являются неотъемлемой частью основных преобразований при построении всех решений прямым МГЭ, мы выполним их в

Рис. 3.4.

данном случае подробно, фиксируя каждый шаг, и рассмотрим отдельно два члена, возникающие в левой части нашего уравнения. Итак, имеем сначала

где бесконечно малый элемент площади А. Интегрируя дважды по частям лишь член и подставляя пределы интегрирования, показанные на рис. 3.4, получаем следующую последовательность соотношений:

Второй интеграл в (3.27), очевидно, равен

а первый с учетом того, что в точке на (рис. 3.4), фактически является интегралом по границе Уравнение (3.27), следовательно, можно переписать в виде

Если мы проделаем то же самое с членом и сложим результаты, то, очевидно, получим

где последний член, согласно уравнениям (3.24) и (3.25), равен

Приравнивая (3.26) и (3.28), получаем в развернутом виде

Если, как и ранее, обозначить

и вспомнить, что поток в направлении равен

то уравнение (3.29) можно будет записать более компактно:

Это соотношение позволяет находить значения потенциала в произвольной точке по известным значениям потенциала и потока во всех точках границы и заданному распределению интенсивностей внутренних источников.

Уравнения (3.29) и (3.30), по существу, являются двумерными аналогами уравнения (2.22), и читатель, таким образом, может справедливо предположить, что трехмерные задачи также будут приводить к уравнению, совпадающему с (3.30), в котором индексы принимают значения становится площадью поверхности, объемом

Уравнение (3.30) имеет ряд особенностей, которые необходимо обсудить до того, как оно будет использовано в своей граничной форме для решения общей двумерной задачи. Эти особенности связаны с тем, что член стоящий в левой части, зависит уже от аргумента а не от х, как это обычно было в непрямом МГЭ, и, следовательно, потенциал должен вычисляться в точке (т. е. поменялись местами). Как следствие этого интегрирование теперь проводится по х, и потому единичная нормаль должна выбираться в каждой точке границы, а не в выделенной точке наблюдения, как в случае НМГЭ. Подчеркивавшаяся выше идея различения точек приложения нагрузки и точек наблюдения фактически уже не приносит пользы, и уравнение ПМГЭ лучше всего рассматривать как уравнение, определяющее потенциал в любой точке суммированием эффектов от других точек х на границе и внутри области А.

Если теперь мы устремим точку к границе изнутри А (скажем, ), то из уравнения (3.30) получим предельное значение потенциала при

Это уравнение снова является сингулярным скалярным интегральным уравнением рассмотренного в § 3.4 типа, связывающим все граничные значения потенциала и потока с заданным распределением внутренних источников Все интегралы имеют особенности при однако, как будет показано в дальнейшем, интегралы, содержащие функцию имеющую логарифмическую особенность, могут быть вычислены (аналитически или численно) без дополнительных трудностей. Двумерные интегралы по границе, содержащие функцию напротив, имеют сильную особенность порядка и должны вычисляться по формуле"

где последний интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. «Свободный член» в (3.32) всегда будет иметь знак «плюс» как для внутренних, так и для внешних задач, если потребовать, чтобы изнутри интересующей нас области и знак соответствовал направлению «внешней» нормали к

Проведенный ниже простой вывод формулы для «свободного члена» [11] в уравнении (3.32) может помочь читателю понять, почему интеграл от должен трактоваться именно таким образом.

Рис. 3.5.

На рис. 3.5, а показана гладкая часть границы в окрестности граничной точки дополненная полуокружностью малого радиуса с центром в Вычислим сингулярную часть интеграла от по х, когда на границе изнутри А. Выбирая в качестве начала локальной системы координат, подставляя уравнение (3.66) вдоль

и учитывая, что получаем

где знаку плюс в правой части отвечает выбор направления «внешней» нормали из Уравнение (3.33) объясняет появление «свободного члена» в (3.32); при этом интеграл по оставшейся части границы где превращается в интеграл в смысле главного значения по Коши. Отметим попутно, что при отсутствии единственной касательной к в точке (рис. 3.5, б) пределы интегрирования при вычислении свободного члена уже не будут равны и поэтому коэффициент при уже не будет равен 1/2. Подобная ситуация может возникать в углах или в местах соединения

линейных элементов, аппроксимирующих границу; например, в случае, показанном на рис. 3.5, б, пределы интегрирования равны а «свободный член» равен Здесь, может быть, уместно отметить, что для трехмерных задач теории потенциала вычисление «свободного члена» осуществляется точно таким же образом путем интегрирования по полусфере радиусом с центром в При этом гл. 5) и, следовательно, так что при

откуда снова получаем

Для угловой точки, показанной на рис. 3.5, б, «свободный член» равен где величина соответствующего телесного угла.

Подстановка (3.32) в (3.31) приводит к граничному интегральному уравнению требуемого вида:

Это тождество в принципе позволяет нам по заданным граничным значениям и распределению внутренних источников вычислить все остальные не заданные на границе характеристики. После того, как все данные на границе (т. е. значения на будут известны, ими можно воспользоваться для вычисления по формуле (3.30) в любой точке внутри А.

Для того чтобы вычислить вспомним, что поэтому, дифференцируя в (3.30) под знаком интеграла, получаем соотношение

содержащее новое выражение — производную по

где символ Кронекера. Формула (3.37) получается путем дифференцирования следующим образом:

но и поскольку то Следовательно,

и

Проведение подобных выкладок без использования индексных обозначений чрезвычайно утомительно; так, в развернутой записи уравнение (3.38) содержит восемь отдельных членов-произведений (два из которых оказываются равными нулю). Поэтому читателю настоятельно рекомендуется овладеть несколькими простыми правилами (см. приложение А), требующимися уже на данной стадии, чтобы быть готовым к существенно более широкому использованию подобных обозначений, например в теории упругости.