5.2. Сингулярные решения: непрямая и прямая формулировки

Фундаментальное сингулярное решение для потенциала «эквивалентного изотропного тела с проводимостью в точке обусловленного действием единичного источника интенсивности в точке 1, можно записать в виде

где

Сравнивая выражения (3.4) и (5.2), мы замечаем, что если выражение (3.4) дает относительные значения потенциала то выражение (5.2) определяет его абсолютные значения и условия на бесконечности оказываются выполненными автоматически. Отсюда следует, что в непрямом варианте МГЭ не требуются дополнительные уравнения для удовлетворения условий единственности решения.

Отвечающий потенциалу вектор потока (скорости) дается выражением

где

При этом соответствующая нормальная составляющая скорости на границе равна

или

где

Вывод соотношений непрямого МГЭ при помощи этих сингулярных решений осуществляется по аналогии с соотношениями (3.7) — (3.12), за исключением того, что в трехмерных задачах константа С в соотношении (3.7), как было объяснено выше, равна нулю.

Умножая уравнение (5.1а) на функцию и интегрируя по частям так же, как в гл. 3, мы получим соотношение взаимности (3.28), которое можно использовать при формулировке соответствующего прямого метода для получения выражений вида (3.37) и (3.38). Ядро которое необходимо для нахождения скорости в произвольном направлении во внутренней точке теперь принимает вид