5.3. Интегрируемость ядер

Если мы сравним особенности ядер, получающиеся в двумерном случае, с полученными выше, то обнаружим, что последние по крайней мере на один порядок выше. Это обстоятельство естественно может вызвать сомнение в существовании входящих в формулы интегралов в тех случаях, когда местоположение источника совпадает с точкой наблюдения.

Данный вопрос рассматривался Михлиным [1], который показал, что для интегралов по -мерному пространству особенности порядка являются слабыми, и, следовательно, эти интегралы существуют в обычном смысле. Интегралы же с особенностями порядка существуют только при определенных условиях (большая часть которых здесь выполняется) в смысле главного значения по Коши. Особенности порядка выше не интегрируются.

На основании этих результатов мы можем убедиться, что при поверхностные и объемные интегралы, содержащие функцию и (только в случае непрямого метода) объемные интегралы, содержащие функцию являются интегралами от функций со слабыми особенностями и поэтому вычисляются обычным образом. Когда точка 1 стремится к точке х на границе области, поверхностные интегралы, содержащие функцию существуют только в смысле главного значения по Коши, а интегралы, содержащие не существуют вообще. Стоит отметить, что поведение этих интегралов совпадает с поведением рассмотренных в гл. 3 соответствующих интегралов в двумерном случае.