ПРЕДИСЛОВИЕ

Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путем разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов.

Последние в настоящее время достигли такой стадии развития и популярности, что невольно возникает сомнение, существует ли какой-либо другой подход, способный конкурировать с ними по возможностям и простоте реализации.

Настоящая книга посвящена такому альтернативному методу, в равной степени универсальному и основанному на изучении не самих дифференциальных уравнений, описывающих конкретную задачу, а соответствующих этой задаче граничных интегральных уравнений. Самая замечательная особенность методов граничных интегральных уравнений состоит в том, что при их реализации дискретизации подлежат в принципе лишь границы изучаемых областей; это естественно ведет к существенному уменьшению числа дискретных элементов по сравнению с методами, требующими внутренней дискретизации всего рассматриваемого тела. Следовательно, для того чтобы найти окончательное решение этими методами, нужно решить систему алгебраических уравнений более низкого порядка, чем при использовании других методов.

Следует отметить, что, в то время как метод конечных элементов, первоначально возникший из естественных физических соображений, успешно развивался и был доведен до высокой степени совершенства, методы граничных интегральных уравнений в значительной мере относились к сфере деятельности математиков, и посвященная им литература (хотя и обширная) в большинстве своем написана в форме, не представляющей непосредственного интереса для инженеров-расчетчиков.

Настоящая книга представляет собой попытку восстановить равновесие. Ее название «Методы граничных элементов в прикладных науках» призвано подчеркнуть, что основным процессом является тот или иной способ разбиения границ на надлежащим образом выбранные элементы (граничные элементы). Все понятия первоначально поясняются на уровне физических и интуитивных соображений, и лишь затем приводятся более строгие формулировки; это позволяет надеяться, что их принципиальная простота произведет должное впечатление на читателя. Те же, кто знаком с понятием линий влияния, или с матричными методами строительной механики, или с методами суперпозиции фундаментальных решений (функция Грина и пр.), убедятся, что идеи, лежащие в основе МГЭ, им уже хорошо известны.

Изложение построено таким образом, что при последовательном изучении книги не требуется обращения к дополнительным источникам. Отдельные математические вопросы, выходящие за рамки программы средних курсов технических и прикладных специальностей высших учебных заведений, поясняются в приложениях. Каждая глава завершается обстоятельным списком литературы. Это связано с тем, что, хотя методы граничных интегральных уравнений уже применялись к широкому кругу проблем, лишь недавно было замечено, что большая часть посвященных им работ имеет общую теоретическую основу и их практическая реализация на ЭВМ требует одинакового математического обеспечения. Это обстоятельство привело к возрастанию интереса к методам граничных интегральных уравнений со стороны специалистов, работающих в различных областях.

Круг вопросов, рассматриваемых в книге, чрезвычайно разнообразен и включает методы решения линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных задач механики деформируемого твердого тела и механики жидкости, а также комбинированные методы, использующие МГЭ вместе с другими численными методами. Многочисленные примеры решенных задач позволяют убедиться в том, что МГЭ фактически уже применяется во всех областях техники.

Нам бы хотелось также упомянуть о том, что один из алгоритмов метода граничных элементов для однородной области по своей форме эквивалентен методу конечных элементов с единственным «конечным элементом», совпадающим со всей областью. Такой «суперэлемент» может быть добавлен к обычному набору конечных элементов, формирующемуся по стандартным правилам, для получения решения комбинированным методом. Одно из очевидных достоинств комбинированного подхода, присущее исключительно МГЭ, состоит в возможности простого и точного учета бесконечно удаленных границ.

Благодарности

Многие примеры, используемые в данной книге, и некоторые вычислительные идеи принадлежат нашим коллегам, в том числе докторам Дж. Томлину, Дж. Уотсону, Р. Дрисколлу, Т. Девису, Д. Н. Кейзи и Дж. Мусто, возможность работать с которыми была одной из наших привилегий. Кроме того, мы находимся в долгу перед рядом других ведущих специалистов, любезно позволивших нам включить в книгу многочисленные примеры из их работ, а также перед докторами Т. Крузом, Р. Шоу, Дж. Уотсоно и Р. Уилсоном за многочисленные дискуссии и критические замечания.

За разрешение использовать материалы публикаций мы благодарны институту American Institute of Physics, издательствам Applied Science Publishers и Cambridge University Press, фирме Douglas Aircraft Company, обществу Institution of Electrical Engineers, издательствам Pergamon Press, Plenum Press Company и Prentice-Hall Inc., обществу the Society of Naval Architects and Marine Engineers, Университету штата Нью-Йорк, издательствам Thomas Telford Ltd. и John Wiley and Sons; мы чрезвычайно признательны им также за помощь и содействие. Хотя для установления обладателей авторских прав на диаграммы и таблицы были приложены все усилия, сделать это абсолютно точно не всегда оказывалось возможным, так что мы приносим наши извинения за любые ошибки и неточности в этом отношении.

Наконец, нам бы хотелось поблагодарить Отделения строительной механики Саутгемптонского университета и Университетского колледжа в Кардиффе за предоставленные нам вычислительные средства, а ведомства Military Vehicles Experimental Establishment (Christchurh), Science Research Council and the Department of the Environment (London) и Departament of Ocean Engineering, Lloyds Register of Shipping за финансовую поддержку. Этот список отчасти объясняет отчетливо прослеживаемую связь приведенных в книге примеров со строительной механикой. Ввиду того что наши собственные научные интересы тесно связаны с геотехникой, мы подобрали также ряд примеров, особенно показательных для этой области.

П. К. Бенерджи

Р. Баттерфилд