14.2. Построение решений с использованием граничных элементов энергетическим методом

14.2.1. Введение

В настоящее время имеется уже значительное число опубликованных работ [1—8, 24—32], в которых граничные интегральные соотношения выводятся из энергетических соображений; при этом, в частности, используются метод моментов, метод Галёркина или метод Релея — Ритца. Хотя каждый из этих методов позволяет получать симметричные матрицы линейных систем, с инженерной точки зрения более предпочтительным, вероятно, является подход, основанный на минимизации суммы взвешенных невязок, так как он приводит к более глубокому пониманию физической сущности изучаемых процессов.

14.2.2. Общая теория метода взвешенных невязок

Для иллюстрации идеи метода взвешенных невязок рассмотрим задачу определения функции и (значения которой могут быть как скалярными, так и векторными величинами), удовлетворяющей внутри области с границей уравнению общего вида

и граничным условиям

где функции заданы на соответствующих частях границы

Операторы могут быть как дифференциальными, так и интегральными, как линейными, так и нелинейными.

Если некоторое приближение решения и, то, очевидно, уравнения (14.1) и (14.2) не будут удовлетворяться точно. Обозначим отклонения их правых частей от нуля через

где функции называются невязками.

Для определения приближенного решения потребуем, чтобы интеграл от взвешенной суммы невязок, заданных соотношениями (14.3), был равен нулю, а именно [5-7] чтобы

где набор независимых весовых функций

Уравнение (14.4) и является основным соотношением метода взвешенных невязок для нашей задачи. Детальное изложение этой процедуры можно найти в статье Зенкевича с соавторами [5].