9.2. Основные уравнения

Уравнение, которое нам предстоит решить, может быть записано в виде

где, например, для задачи теплопроводности скалярное поле определяет температуру в произвольной точке области V в момент времени тензор коэффициентов температуропроводности, заданная интенсивность зависящих от времени источников и стоков, распределенных по всей области

Как было указано выше (§ 5.1), уравнение (9.1) может быть сведено к эквивалентному изотропному виду (с коэффициентом диффузии С) путем выбора направления осей вдоль главных осей тензора и подходящего геометрического масштабирования задачи. Кроме того, всегда полезно представить исходное уравнение в безразмерной форме, позволяющей помимо большей общности решения выбрать диапазон изменения безразмерных переменных таким образом, чтобы улучшить обусловленность различных матриц за счет сужения диапазона значений их элементов. В данном случае мы будем использовать, скажем, произвольное значение и разделим наши преобразованные координаты на некоторый характерный размер так что в результате они перейдут в безразмерные координаты Тогда безразмерное время находится как Теперь наши обозначения соответствуют использованным в главах, посвященных стационарным течениям, и уравнение (9.1) можно переписать в виде

Для компонент вектора скорости в произвольной точке имеем выражения

и, следовательно, поток и через некоторую границу, заданную положением своей внешней нормали равен

В корректно поставленной задаче граничные условия задаются соотношениями

1) , скажем, везде в V при ;

2) на части границы при всех значениях времени ;

3) на остальной части границы

Кроме того, на части границы или на всей этой границе может быть задана линейная комбинация и (так называемое конвективное граничное условие)

Условия 2 и 3, очевидно, являются частными случаями (9.5).

Наша задача состоит в построении алгоритмов МГЭ для отыскания решений уравнения (9.2), удовлетворяющих указанным выше граничным условиям в области V при всех значениях времени