4.7.2. Фундаментальное сингулярное решение

Выписанное ниже решение для напряжений и смещений в безграничном упругом пространстве в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, вызванных действующей вдоль прямой нагрузкой, получил Томлин [4, 23] на основе более ранней работы Лехницкого [20].

Пусть, как изображено на рис. 4.9, а, координатные плоскости совпадают с плоскостями упругой симметрии. Тогда для плоского напряженного состояния, при котором в плоскостях, нормальных

оси напряжения нулевые, уравнение (4.69) (при напряжениях равных нулю) будет в любой точке давать связь между компонентами напряжений и деформаций. Удобнее переписать эти уравнения так:

Легко показать, что в случае плоской деформации компоненты заменяются компонентами в по формулам

Фундаментальное сингулярное решение для нагрузки, действующей в направлении оси и распределенной с единичной интенсивностью по оси дает следующие компоненты напряжений и смещений в плоскости

где Величина 6 всегда действительная, а величина а может принимать действительные или мнимые значения либо обращаться в нуль, что приводит к разным выражениям для компонент смещений:

В которых

Отметим еще раз, что смещения, параллельные линии действия нагрузки и обозначенные здесь через имеют смысл относительных значений смещений. Член, содержащий А, появляется в а следовательно, и в из-за того, что (4.76) дает значения относительно их значений в произвольных точках

Компоненты напряжений и смещений, соответствующие нагрузке единичной интенсивности, действующей вдоль оси в направлении получаются при перестановке индексов 1 и 2 во всех уравнениях (4.74) — (4.76).

При вычислении значений арктангенсов в приведенных выражениях необходима известная осторожность. Обычно используется главное значение, лежащее в пределах но возможен случай, когда становится бесконечным, что приводит к разрыву в Томлин [4] преодолевает эту трудность, прибавляя як величине когда знаменатель 12 становится отрицательным.