7.2.4. Концепция кратных узлов с дополнительными соотношениями

Несколько иная концепция кратного узла была предложена Шодонре [6] для задач теории упругости и Аларконом, Мартином и Пэрисом [7] для задач о потенциальном течении. Они вывели в добавление к (7.1) систему дополнительных уравнений, записанных для углового узла, где граничные условия принадлежат к типу, показанному на рисунке 7.1, в.

Задачи о потенциальном течении. В угловом узле нормальные производные потенциала могут быть записаны как

где модуль градиента в угловой точке, а — углы между и соответствующими нормалями к границе.

Направляющие косинусы этого «искусственно введенного» градиента, очевидно, равны

На основе известного распределения потенциала мы можем вычислить величины в правой части равенства (7.5), используя, например, конечно-разностную формулу. Значение и известные нормали к границе дают нам возможность вычислить . В результате получается корректно поставленная задача, включающая только одну искусственную переменную и в углу.

Задачи статической теории упругости. В работе Шодонре [6] выведены два вспомогательных соотношения для точек в окрестности угла, основанные на инвариантности тензора напряжений и инвариантности следа тензора деформаций.

Усилия на поверхности соответствующие однозначно определенным компонентам поля напряжений в окрестности угла, даются выражениями

Можно разрешить эти уравнения относительно компонент напряжения и выразить решение через и

Учитывая симметрию тензора напряжений, можно записать

Рис. 7.2. Ортогональные системы координат в окрестности угловой точки.

Чтобы вывести второе дополнительное соотношение, рассмотрим ортогональные системы координат (рис. 7.2) с началом в угловой точке. Из инвариантности следа тензора деформаций в углу мы имеем

Смещения их и отнесенные к осям эталонной системы координат, предполагаются линейно изменяющимися вдоль и Поэтому мы имеем

Компонента смещения вдоль равна

и поэтому

Аналогично мы можем получить

Рассматривая оси и имеем

а в силу закона Гука

где Отсюда мы можем вывести равенства

Теперь, подставив в (7.11) выражения (7.8) — (7.10), мы имеем

Используя уравнения (7.7) и (7.12), мы теперь можем исключить одну из совокупностей усилий в угловом узле, преобразуя таким образом задачу в корректно поставленную.

Описанную выше процедуру можно распространить на трехмерный случай, если рассмотреть тройную точку в углу, чтобы представить разрыв усилий. Для граничной задачи с заданными смещениями в угловом узле мы будем иметь три уравнения, содержащие девять неизвестных (в противоположность двум уравнениям с четырьмя неизвестными для обсужденного выше двумерного случая). Из шести требующихся дополнительных соотношений три могут быть получены из условия симметрии тензора напряжений а три остальные следуют из инвариантности следа тензора деформаций и соотношений между деформациями и смещениями на поверхностных элементах, сходящихся в угловом узле.

Более простой подход, использующий в основном тот же принцип, был разработан Мусто [8], который рассмотрел

полиномиальную интерполяцию для поля смещений в треугольной области (для двумерных задач), включающей два смежных граничных элемента. Поэтому для точки внутри треугольника

где базисная функция, а смещения в локальных граничных узлах. Тогда деформации в точке треугольной области равны

а напряжения получаются из закона Гука:

Усилие на поверхности в любой точке с внешней нормалью дается выражением

Поэтому мы можем выразить усилия через узловые смещения

Уравнение (7.17) может быть использовано в угловой точке для получения двух добавочных соотношений. Вектор нормали входящий в (7.17), можно выбрать равным или , или Дальнейшие подробности содержатся в работе [8].