5.4.2. Базисные функции

В гл. 3 мы привели простейшую схему численного решения задач о потенциальных течениях, использующую кусочно-постоянные распределения по граничным элементам. Хотя такой простой подход позволил нам продемонстрировать все принципиальные особенности техники построения решения, более эффективным оказывается алгоритм, в котором указанные выше величины изменяются по крайней мере линейно в пределах каждого граничного элемента. Кроме того, в некоторыаадачах теории упругости (таких, как задача об изгибе балки) кусочно-постоянная аппроксимация не обеспечивает правильного распределения касательного напряжения в поперечном сечении балки, и поэтому в гл. 4 было необходимо использовать кусочно-линейные функции

Если мы введем локальные координаты в плоскости элемента так, как это показано на рис. 5.2, то в случае линейного изменения, например, по каждому элементу будем иметь

где фиктивный потенциал в некоторой внутренней точке элемента, матрица размером трехмерный вектор-столбец узловых значений с компонентами

Элементы матрицы базисных функций могут быть получены соответственно из заданных соотношениями (4.21), с учетом того обстоятельства, что начало системы координат в данном случае находится в вершине (см. рис. 4.4 и 5.2, а также гл. 8).

Таким образом, мы можем представить (при дискретную форму граничных интегралов для непрямого метода в виде

где если граничная точка не принадлежит ребру или углу, а матрица базисных функций является функцией переменной интегрирования

Для прямого метода дискретизация граничного интеграла приводит к соотношению

где матрица теперь уже является функцией переменной интегрирования х.

Соотношения (5.9) и (5.10) для непрямого МГЭ и уравнение (5.11) для прямого МГЭ могут быть использованы для формирования окончательной системы уравнений точно так же, как это обсуждалось в гл. 3 и 4.