3.4. Непрямой МГЭ для однородной области

Чтобы дать ясное представление о рассматриваемой модели, на рис. 3.2 воспроизведена соответствующая реальной системе «фиктивная» система (для нее область и ее граница 5 отличаются лишь тем, что помещены в двумерную неограниченную область из того же материала).

Рис. 3.2.

Будем обозначать точки наблюдения на границе через и снова потребуем, чтобы граничные значения потенциала и скорости на в точности совпадали с заданными на т. е.

Чтобы завершить постановку задачи, следует, как и ранее, учесть заданное распределение источников на единицу площади в области А (или А. Для большей ясности при указании их местоположения внутри области используются новые координаты аналогичные причем начало координат системы

совпадает с началом координат х и Теперь мы введем фиктивные источники неизвестной заранее интенсивности в расчете на единицу длины используя координаты для соответствующих точек при ложения нагрузки (источников) на границе 5. Реакции системы в некоторой точке наблюдения х на оба распределения источников значения в ней потенциала и потока и по любому направлению) находятся интегрированием единичных решений по соответственно. Так, для получения надо подставить вместо в уравнение (3.4), проинтегрировать по 5 и добавить результат интегрирования по области А уравнения (3.4), в котором заменена на В итоге получим

где появление постоянной С связано со вторым членом в уравнении (3.4). Как и в одномерном случае в разд. 2.2.1, значение С окончательно будет выбрано таким образом, чтобы суммарное «излучение» через бесконечно удаленную границу обратилось в нуль, что в свою очередь будет гарантировать единственность нашего решения. Это приводит к условию

Те же самые операции, выполненные с дают нормальную составляющую скорости вдоль в виде

В принципе последний формальный шаг для получения решения задачи состоит в помещении точки на границу 5 (т. е. тогда уравнения (3.7) и (3.8) принимают вид

где обозначает несобственный интеграл, обусловленный особенностью в при Более полное обсуждение этого обстоятельства будет проведено позднее.

В «корректно поставленной» задаче одна из функций или должна быть известна в каждой точке границы, поэтому уравнения (3.10) и (3.9) образуют систему двух интегральных уравнений, которая может быть разрешена относительно единственной

неизвестной функции После отыскания значения или в произвольной интересующей нас внутренней точке находятся подстановкой в соотношение (3.7) или (3.8) соответственно. Перед тем как перейти к описанию численной аппроксимации уравнений (3.9) и (3.10) системой алгебраических уравнений (которая может быть решена непосредственно относительно полезно чуть пристальнее рассмотреть эти уравнения.

Прежде всего они являются скалярными интегральными уравнениями, так как все ядра интенсивности источников следовательно, также являются скалярными величинами. В противоположность этому, если бы мы захотели вычислить компоненты вектора скорости то записали бы уравнение (3.5) в виде

что после интегрирования по 5 и А снова дает

Поскольку найдена, то могут быть вычислены в любой точке путем интегрирования. Уравнение (3.11) уже должно иметь векторное ядро чтобы давать значения компонент вектора , и, следовательно, будет многомерным интегральным уравнением первого ранга. Интегральные уравнения, получающиеся в Задачах теории упругости, содержат ядра более высокого ранга, В частности ядра второго ранга вида

Кроме того, интегральные уравнения (3.9) и (3.10) сингулярны в том смысле, что каждое из ядер становится неограниченным в определенных точках внутри областей интегрирования (т. е. 5 и А). Интегрирование по области А членов, содержащих особенности при не вызывает серьезных затруднений. Действительно, хотя особенность типа является сильной, после интегрирования вдоль линейного элемента 5 она, как будет показано ниже, становится «слабой», и, следовательно, проблем с интегрированием по области А, например в уравнении (3.10), не возникает.

На этом основании мы можем заранее ожидать, что все интегралы (или соответствующие им численные суммы) в уравнениях (3.9) и (3.10) могут быть вычислены в обычном смысле (в смысле интеграла Лебега), за исключением первого одномерного интеграла в уравнении (3.10), имеющего сильную особенность (типа ) при Этот интеграл, следовательно, нужно понимать в смысле главного значения интеграла по Коши с дополнительным «свободяым членом», обусловленным особенностью.

По существу, это означает, что всюду, за исключением малой эффестности (вдоль ) точки должно быть выполнено обычное интегрирование; получаемое же в пределе при значение

и является главным значением интеграла по Коши. В некоторых случаях значение свободного члена фактически очевидно из физических соображений. Например, в нашей задаче при поток, обусловленный действием точечного источника делится пополам между внутренней А и внешней А областями, и поэтому его вклад в при приближении изнутри области А должен соответствовать если не находится в угловой точке (т. е. если в точке имеется единственное направление, касательное к Значения «свободного члена» в угловых точках обсуждаются ниже. Заменив теперь особый интеграл интегралом типа Коши по с дополнительным членом мы можем переписать уравнение (3.10) в виде

где первый интеграл должен пониматься в смысле Коши, а второй — в обычном смысле.

Чтобы выполнить интегрирование и получить численное решение нашей задачи, сводящееся в основном к определению из уравнений (3.9) и (3.12), мы должны дискретизировать поверхность области, а при наличии внутренних источников и всю внутреннюю площадь А.