Глава 3. ДВУМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ О ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ

3.1. Введение

Главная цель нашей книги — ввести читателя в круг важнейших задач (в порядке возрастания их сложности), которые могут быть эффективно решены с помощью МГЭ. Усложнения обусловлены либо размерностью задач и видом основных уравнений, либо использованием при численной реализации метода дискретизации более высокого порядка.

Данная глава представляет собой первый шаг в этом направлении и посвящена анализу линейных двумерных задач теории стационарных потенциальных течений, т. е. течений с неизменными во времени характеристиками, удовлетворяющими в двумерной области линейным уравнениям. Основные дифференциальные уравнения в частных производных для таких задач являются эллиптическими (уравнение Лапласа или уравнение Пуассона) и относятся к простейшим математическим моделям гидравлики, электро- и теплопроводности и т. д. В каждой из этих задач дифференциальному уравнению удовлетворяет потенциальная функция (электрический или гидравлический потенциал либо температура), пространственный градиент которой через параметр проводимости или проницаемости линейно связан с потоком или расходом (соответственно плотностью электрического тока, скоростью течения жидкости или потоком тепла).

Хотя в этой и в следующей главах сингулярные решения становятся все более сложными алгебраически, основные этапы процедуры построения решения в точности совпадают с подробно рассмотренными в гл. 2.

Идея сведения задач теории потенциала к решению интегральных уравнений не нова [1], но лишь совсем недавно она была реализована в виде достаточно общей вычислительной процедуры. Джесуон [2] и Симм [3] опубликовали полупрямой алгоритм МГЭ для двумерных задач о потенциальных течениях, а Джесуон и Понтер [4] — аналогичный алгоритм применительно к задачам крушения стержней. Эти вопросы в плане прямого, полупрямого и непрямого методов граничных элементов более полно обсуждались Мендельсоном [5]. Непрямой метод впервые распространен на зонально-анизотропные среды Баттерфилдом и Томлином [6-8], тогда как Нива, Кобаяси и Фукуи [9] опубликовали прямой МГЭ решения задач фильтрации со свободными границами. В то

же самое время аналогичные исследования были выполнены, независимо, но параллельно в области теории теплопроводности (см., например, Чжан, Ган и Чжень [10]). Все эти приложения укладываются в рассматриваемые в данной главе общие алгоритмы прямого и непрямого МГЭ.