4.8. Типичные примеры

(а) Задача о толстостенном цилиндре. Рассмотрим длинный толстостенный круговой цилиндр под действием внутреннего давления, находящийся в условиях плоской деформации и установившегося в радиальном направлении градиента температур. Эта задача обычно встречается при рассмотрении напряженного состояния труб теплообменников и сосудов высокого давления, таких, как паровые котлы и сосуды, используемые в химической технологии. На рис. 4.10 изображены эта задача и схема дискретизации для программирования на ЭВМ в ПМГЭ; принято, что и и 11 линейно меняются в пределах каждого элемента. Граничные значения были определены при помощи алгоритма ПМГЭ, примененного в задаче о потенциальном течении жидкости с той же схемой дискретизации, но в предположении о постоянстве значений в пределах каждого граничного элемента.

Рис. 4.10. Внутренняя поверхность: давление равно температура равна Внешняя поверхность: давление и температура равны нулю

Здесь приводятся два решения этой задачи с различными граничными условиями. В первом предполагается, что температурные деформации равны нулю, а во втором нулю приравниваются приложенное внутреннее и внешнее давления. На рис. 4.11 и 4.12 показаны значения напряжений, вычисленные в отмеченных на рис. 4.10 точках. Радиальные и азимутальные напряжения вычисляются при помощи простого преобразования их декартовых компонент.

(б) Задача о нагруженной консоли. На рис. 4.13 изображается задача о нагруженной консоли с искусственно введенными поверхностями раздела. Это искусственное разделение длинной и тонкой конструкции не только уменьшает время счета, но и улучшает точность решения примерно на 3% по сравнению с решением без этого разделения.

Вертикальные смещения вдоль средней линии консоли показаны на рис. 4.14, а соответствующие изгибающие напряжения — на рис. 4.15. Напряжения представлены в безразмерном виде как отношение где изгибающее напряжение в балочном приближении. Вычисленные напряжения, как правило, на 5% меньше напряжений, полученных в балочном приближении. Это необычно большое расхождение получается из-за того, что напряжения сравниваются с напряжениями в граничных точках, где

(кликните для просмотра скана)

Рис. 4.16. Граничные условия: на жесткие гладкие границы; ненагруженная граница,

Рис. 4.17.

погрешности численного решения всегда максимальны. Задача о консоли, хотя и тривиальная, представляет интерес, поскольку геометрия этой задачи делает ее особенно неудобной для решения методом конечных элементов с невысоким порядком дискретизации.

(в) Задача о дамбе, расположенной на более жестком основании. На рис. 4.16 представлена типичная схема дамбы, расположенной на основании в виде слоя более жесткого материала Напряжения и смещения, возникающие под действием дамбы, вычисляются на первоначальной поверхности основания; они показаны на рис. 4.17.

(г) Задача о кусочно-однородной ортотропной среде. Следующие два примера взяты из работы [23]. Векторы смещений и главные напряжения на рис. 4.18а получены непосредственно из аналитического решения [4] для нагрузки, распределенной по границе ортотропной полуплоскости. На рис. 4.186 изображаются

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

аналогичные данные, полученные из решения НМГЭ, при построении которого для отработки алгоритма, учитывающего кусочную неоднородность среды, полуплоскость представлялась в виде двухзонной системы с одинаковыми в обоих зонах упругими свойствами. Граница раздела зон на рисунках изображена в виде прямоугольника, очерченного штриховыми линиями. На внешних границах задавались взятые из аналитического решения смещения. На рис. 4.186 приводятся полученные при помощи МГЭ результаты для задачи о двухзонной ортотропной среде. Использовалась следующая схема дискретизации: пять граничных элементов на полуширине основания; полное число элементов, включая и поверхность раздела, равнялось 42. Как показано в табл. 4.1, соответствие этих двух решений очень хорошее, кроме точек, расположенных вблизи концов участка приложения нагрузки.

Таблица 4.1 (см. скан)

Второе иллюстративное решение (рис. 4.19) приведено для демонстрации гораздо более сложной многозонной задачи. Направления главных осей упругой анизотропии показаны на

Таблица 4.2 (см. скан) Константы упругой ортотропии

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 4.22. Главные напряжения в сечении

рисунке; значения упругих постоянных для различных зон приведены в табл. 4.2. Особый интерес представляет набор рассмотренных граничных условий.

(д) Круговое включение в безграничной упругой среде [18]. На рис. 4.20 приводятся и сравниваются с аналитическим решением результаты, полученные при помощи ПМГЭ для задачи о круговом включении в безграничной упругой среде. В этом решении один

Рис. 4.23. Главные напряжения в сечении

(кликните для просмотра скана)

квадрант моделировался 20 граничными элементами и предполагалось, что линейно меняются в пределах каждого элемента. Численные и аналитические результаты совпадают с точностью до четырех значащих цифр.

(е) Типичная задача о выработке [18]. На рис. 4.21 приводится типичная задача о выработке, в которой предполагается, что модуль упругости месторождения отличается от модуля вмещающей породы Предполагается, что коэффициент Пуассона равен 0.15 для обоих материалов. Геостатические напряжения, измеренные на большом расстоянии от месторождения, составляли

Задача решалась при помощи ПМГЭ. Общее число граничных узлов — 114, число неизвестных — 256. Результаты сравнивались с решением, полученным методом конечных элементов с использованием 855 четырехугольных элементов, в пределах которых деформации считались постоянными.

Главные напряжения в сечениях (см. рис. 4.21), рассчитанные обоими методами, сравниваются на рис. 4.22 - 4.25 соответственно. Результаты, как правило, отличаются не более чем на 7%.

(ж) Прочие применения. В литературе приводится много других решений двумерных задач теории упругости при помощи МГЭ [24—35]. Этот метод вследствие непрерывности получающихся решений стал популярен в механике разрушения, и в работах [24-28} даются примеры вычисления коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов трещины.