12.6. Пошаговые алгоритмы в вязкопластичности

Вязкопластический алгоритм [11, 12] есть, в сущности, алгоритм метода начальных деформаций, и мы можем записать окончательную систему уравнений для (12.48) в форме, сходной с (12.52), т. е.

где мы обозначили величины приращений через А, поскольку в вязкопл астичности точка сверху обозначает истинную скорость во времени, и траектория нагружения разбита на произвольное число приращений . В предположении о том, что у нас есть полная информация о напряжениях смещениях ил, вязкопластических деформациях на шаге по времени простейший алгоритм для получения полей на шаге в момент времени может быть сформулирован следующим образом.

1. Считая известными значения внутренних параметров состояния на шаге, вычислим скорость вязкопл астических деформаций уравнения (12.21), т. е.

2. Найдем изменение вязкопластической деформации

3. Используя известные значения (т. е. граничной нагрузки, зависящей от времени) и вычислим новую правую часть уравнения (12.53), решим его, получим новое значение и затем вычислим из уравнения

4. Скорректируем напряжения и начнем новый, шаг по времени.

Следует отметить, что уравнение (12.53) не обязательно записывать через и Поскольку посредством уравнения (12.18) теория учитывает зависимость упругопластического течения от траектории нагружения, можно записать (12.53) через текущие значения в момент времени Однако если мы хотим решать упругопластические задачи с использованием вязкопластического подхода, то мы обязаны вводить в уравнение приращения рассматриваемых величин. В таком алгоритме точный вид параметров вязкопластического течения (часто ) и в уравнении (12.20) не существен и время играет роль фиктивной переменной [12]. Для каждого приращения нагрузки упругое решение сопровождается процессом релаксации (во времени), при котором осуществляется возврат к установившемуся равновесному состоянию. Шаги по времени прекращаются, когда напряжения достигают достаточно близкой к поверхности текучести точки (т. е. когда достигается состояние, соответствующее установившемуся решению задачи в рамках вязкопластичности). Рис. 12.5 и 12.6 показывают разницу между методом

Рис. 12.5. Схематическое представление используемого в упругопластичности итерационного алгоритма перехода из точки А в точку В по методу начальных напряжений.

Рис. 12.6. Схематическое представление итерационного алгоритма, использующего вязкопластическую модель для анализа упругопластического деформирования.

начальных напряжений и методом, использующим вязкопластическую модель, при анализе упругопластического деформирования тел.

Основная проблема, связанная с этим подходом, состоит в том, что величина временного шага которую можно использовать, сильно ограничивается требованиями устойчивости и сходимости [12, 13]. Эти требования обсуждаются ниже в связи с теорией, основанной на введении внутренних параметров, где возникают аналогичные проблемы; подробности можно найти в работах [13] и [24].