Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
1.1. Общие положения
Когда инженер или ученый строит количественную математическую модель системы практически любого рода, он обычно начинает с установления поведения бесконечно малого (дифференциального) ее элемента на основании предполагаемых соотношений между главными переменными, характеризующими систему. Это приводит к описанию системы при помощи дифференциальных уравнений. Как только построена основная модель и выяснены свойства конкретного дифференциального уравнения, дальнейшие усилия направляются на получение решения уравнений в конкретной области, которая часто имеет очень сложную форму и состоит из различных сред, имеющих сложные свойства. На границах области задаются различные условия; они могут быть постоянными или меняться со временем и т. д. Поэтому не удивительно, что решение таких дифференциальных уравнений было основным делом аналитиков в течение более двух столетий.
Наличие нерегулярных границ в большинстве практических задач не позволяет построить аналитическое решение дифференциальных уравнений, и численные методы стали единственным возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов.
Наиболее широко используемые в настоящее время численные методы рассматривают дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они были выведены (без каких-либо дальнейших математических манипуляций), при помощи одного из двух подходов: или при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми локализованными алгебраическими операторами, действующими в последовательностях узлов, находящихся в области, или при помощи представления самой области элементами среды, не являющимися бесконечно малыми (т. е. конечными элементами), которые в совокупности аппроксимируют реальную систему.
Метод конечных разностей 
родоначальник первого подхода, и до последних пятнадцати лет, когда его стали заменять методами второго рода, он наиболее широко использовался. Методы конечных разностей привлекательны тем, что их в принципе можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но, к несчастью, учет граничных условий задачи очень часто
является громоздкой и трудно программируемой операцией. Точность полученного численного решения полностью зависит от степени измельчения сетки, определяющей узловые точки, и, следовательно, в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений очень высокого порядка.
В настоящее время наиболее популярным, безусловно, является иной подход, состоящий в возвращении к характерному для физики разбиению тела на элементы конечных размеров; чем больше эти элементы, тем лучше с точки зрения минимизации числа получающихся уравнений. Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области тела, которую он представляет, но условие полной непрерывности между элементами налагается только в общем смысле (обычно в узлах), а не на всем протяжении границ раздела (т. е. такие методы, в сущности, аппроксимируют тело и задают способ его составления).
Метод конечных элементов [2] воплощает этот подход и в последние годы достиг такого уровня развития, что многие часто сомневаются — может ли появиться хоть когда-нибудь равносильный метод, не говоря уже о лучшем. Диапазон применимости методов конечных элементов, их эффективность и сравнительная легкость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, действительно делают их весьма серьезными соперниками для любого конкурирующего метода. Самая слабая его сторона состоит в том, что он, во-первых, по идее представляет собой схему дискретизации всего тела, а это неизбежно ведет к очень большому количеству конечных элементов, особенно в трехмерных задачах с удаленными границами, в пределах каждой из которых не все неизвестные переменные изменяются непрерывно, и, во-вторых, часто приводит к нереальным разрывам значений физических величин между смежными элементами [2].
