4.6. Объемные силы

Широкий класс граничных задач статической теории упругости связан с учетом действия объемных сил, обусловленных либо стационарными температурными и фильтрационными градиентами, либо гравитационным потенциалом. Во всех таких задачах объемные силы представляются в виде

где некоторая скалярная функция, удовлетворяющая в области дифференциальному уравнению

В случае установившихся тепловых напряжений или постоянного гравитационного потенциала а для центробежных сил, возникающих при вращении вокруг неподвижной оси,

Интеграл от объемных сил в (4.37) в этом частном случае оказывается равным

и, так как удовлетворяет (4.58), может быть преобразован к поверхностным интегралам по . В [16, 17] разработан способ выполнения этих преобразований, которому мы следуем здесь.

Применяя теорему Гаусса — Остроградского к правой части (4.59), имеем

где точка x принадлежит , а точка принадлежит Замечая, что

где постоянные Ламе, можно преобразовать объемный интеграл в (4.60) следующим образом:

Напомним теперь следующее свойство функции

(это свойство легко доказать). Подставляя гармонические функции в интегральное тождество теории потенциала (см. гл. 3)

и используя (4.58), получаем

или

Подстановка (4.64) в (4.62) приводит к

причем в последнем интеграле использовалось равенство Применяя теорему Гаусса—Остроградского к последнему слагаемому в (4.65), имеем

где на границе известны из предшествующего решения (4.58). Тем самым эта задача сводится к задаче, включающей только граничную дискретизацию.

В некоторых задачах оказывается возможным подобрать простое полиномиальное решение, соответствующее полю объемных сил. Прямое интегральное представление (4.38) для этого случая можно записать в виде

где простое полиномиальное представление поля смещений, вызванного наличием полей гравитационных, центробежных и т. п. сил. В качестве примера можно привести частное решение и для однородного поля напряжений и т.д., которое выражается формулой [18]

где при означает координату, описывающую положение точки для плоского напряженного состояния и для плоской деформации.