12.3. Основные дифференциальные уравнения упругопластичности

Для упругопластического материала должны быть справедливы уравнения равновесия для скоростей (приращений) напряжения, которые при отсутствии зависящих от времени объемных сил имеют вид

где точка обозначает приращение. Соотношения между деформациями и смещениями могут быть записаны так:

Скорость полной деформации может быть разложена на упругую и пластическую части:

Напряжения связаны с упругими деформациями соотношением

где упругие константы. С учетом уравнения (12.28) это соотношение можно записать в виде

Подставляя уравнение (12.30) в (12.26) и используя соотношения между деформациями и смещениями мы получим основные дифференциальные уравнения упругопластического течения (см. работы Линя [25, 26], а также Сведлоу и Круза [27]):

При отсутствии пластической деформации два последних члена обращаются в нуль, и уравнение (12.31) становится уравнением теории упругости Навье в инкрементальной форме. Поэтому решение упругопластической задачи может быть рассмотрено как

решение упругой задачи, описываемой дифференциальным уравнением

в объеме тела и подчиненной граничному условию

на поверхности, где

и внешняя нормаль к границе.

Теперь мы видим, что уравнение (12.32) совпадает с инкрементальным уравнением Навье при соответственно измененных объемных силах , порожденных необратимой компонентой поля деформации. Кроме того, нелинейности появляются только в члене неоднородного дифференциального уравнения, учитывающем объемную силу. Поэтому уравнение (12.32) имеет квазилинейный характер.

Мы можем представить себе воображлемое упругое тело, для которого объемные силы и граничные условия при задании усилий модифицированы согласно уравнениям (12.32) и (12.33). Поле смещений, полученное из решения уравнения (12.32), будет поэтому верным для реального упругопластического тела. Напряжения, соответствующие этому полю смещений, должны определяться соотношениями между напряжениями и деформациями, присущими теории упругости в упругих областях и упругопластической теории в упругопластических областях.

Эта процедура решения упругопластической задачи при помощи модифицированной упругой задачи не нова. Рейснер [28] предложил, в сущности, эту же схему, используя интуитивные рассуждения, и назвал ее методом начальных напряжений (Eigenspannungen). Зенкевич и его сотрудники [29, 30] также разработали алгоритм метода начальных напряжений для решения упругопластических задач методом конечных элементов.

Основные дифференциальные уравнения для вязкопластических моделей и моделей, основанных на введении внутренних параметров, в сущности подобны описанным выше уравнениям для упругопластического случая. Однако изменения во времени таких величин, как смещения, напряжения и т. п., приводят к системам дифференциальных уравнений, таким, как [13, 24]

Поэтому важно выбрать правильный автоматический временной шаг в схеме интегрирования по времени. Такая схема интегрирования обсуждается в § 12.7.