7.2. Прямые методы

7.2.1. Постановка задачи

В задаче о потенциальном течении потенциал определен однозначно, но его нормальные производные в угловом узле многозначны. Аналогичным образом в задаче теории упругости смещения определены однозначно, но поверхностные усилия в угловом узле многозначны. Поэтому, если мы хотим записать уравнение (для задачи теории упругости)

для граничных узлов, включая один действительно угловой узел, то получающаяся окончательная система уравнений будет иметь вид

где матрица размером или для дву- и трехмерных задач соответственно, матрица размером или для дву- и трехмерных задач соответственно.

Дополнительные столбцы в появляются из-за многозначности усилий в угловом узле. Если эти усилия заданы, то решение системы (7.2) не представляет трудности.

Рис. 7.1. Граничные условия в окрестности угловой точки.

При надлежащем сочетании граничных условий с заданными смещениями и с заданными усилиями (рис. 7.1, а, б) в угловой точке также не возникает трудностей, если окончательная матрица системы, включающая все неизвестные, является квадратной для двумерных задач и для трехмерных). Если в угловой точке заданы только смещения (рис. 7.1, в), то решить систему (7.2) невозможно, и должен быть найден альтернативный подход.

Следует обратить внимание на то, что предыдущие замечания применимы только к острому углу, который действительно существует в рассматриваемой задаче. Дискретизация гладкой поверхности плоскими граничными элементами также приводит к разрывам на границе, но для того, чтобы получить правильные результаты, их нужно рассматривать так, как будто граница является непрерывной.