9.4. Соотношения прямого МГЭ

Хотя соотношения прямого МГЭ могут быть получены непосредственно с помощью тождеств Грина [11, 12], вероятно, полезнее воспользоваться незначительным обобщением процедуры интегрирования по частям, описанной в § 3.5, чтобы пояснить новые, возникающие при этом операции интегрирования по времени.

Во всей рассматриваемой области нужно умножить уравнение на и проинтегрировать по частям дважды по х и один раз по времени Интегрирование по пространственным переменным

выполняется точно так же, как и ранее, и в плоском случае, разобранном в § 3.5, снова приводит к уравнению (3.28), которое с учетом (9.4) и (9.8) принимает вид

Подставляя сюда из (9.2) и (9.6), мы будем иметь

Следует иметь в виду, что в этом уравнении член типа является сокращенной записью Мы можем отметить также тесную связь между появлением таких членов, как (формула (9.7)) и F. В самом деле, мы могли бы ввести вспомогательные координаты, скажем в случае трех измерений, и учесть зависимости от времени просто путем увеличения размерности нашей основной задачи, всегда помня при этом, что источники, введенные в момент времени могут оказывать влияние лишь на события, происходящие в более поздние моменты времени (т. е. дискретные события вдоль оси времени не оказывают влияния на предыдущие). Отсюда следует, что для получения соотношений ПМГЭ уравнение (9.9) надо проинтегрировать еще раз — на этот раз по времени. Рисунок 9.1 поясняет, почему для суммирования эффектов от мгновенных источников, действующих во все моменты времени

Рис. 9.1. Пространственная и временная области в случае плоской задачи диффузии.

мы должны положить во всех членах (9.9), содержащих а затем проинтегрировать по от до

Удобным обозначением, применяемым для этой операции, является свертка Римана, которая записывается в виде [29]

где определена при Этому условию удовлетворяют функции при стремлении к границе по как и ранее, «изнутри» области при соответственно. Свертка обладает всеми групповыми свойствами: коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью.

С использованием этого обозначения интегрирование уравнения (9.9) по х приводит к соотношению

Последний член получается с учетом следующего свойства дельта-функции:

где для внутри если ; находится вне Поскольку как упоминалось выше, то окончательно мы имеем

где член в обычном произведении равен

Соотношение (9.11) представляет собой выражение для потенциала в произвольный момент времени обусловленного начальными источниками зависящими от времени источниками внутри V и всеми (как известными, так и неизвестными) граничными значениями потенциала и потока на поверхности Отметим, что ядра, содержащие имеют особенности при Тем не менее, как было выяснено в гл. 7, интегралы от них существуют в обычном смысле и в смысле главного значения по Коши соответственно. Ядра, кроме того, «обладают хорошим поведением» на всех бесконечно удаленных границах, и, следовательно, в отличие от плоских стационарных задач в данном случае

не потребуется вводить дополнительные члены. Первоначально неизвестные граничные данные можно вычислить при помощи теперь уже стандартного приема устремления к граничной точке при этом (9.11) принимает вид

где телесный угол, образуемый границей в точке Если граница гладкая (т. е. имеет единственную касательную плоскость), то

Соотношения (9.11) и (9.12) составляют полную систему соотношений ПМГЭ для решения задачи Диффузии. Все выкладки остаются справедливыми для объема V, ограниченного поверхностью для этого достаточно в уравнениях просто увеличить пространственные размерности и