8.4. «Линейные» ячейки и граничные элементы

Теперь мы можем применить изложенные выше идеи к преобразованиям ортогональной декартовой системы координат X в косоугольную декартову систему что позволит нам определить базисные функции для целого класса элементов, вдоль границ которых изучаемые параметры изменяются линейно (так называемых «линейных» элементов).

Чтобы подчеркнуть простоту применения указанных идей к «линейным» элементам, мы начнем с рассмотрения двумерного случая, когда оси косоугольной декартовой системы координат определяются тремя точками (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Преобразование косоугольных декартовых координат.

Правило преобразования для произвольной точки или б) находится при помощи простейших тригонометрических формул и имеет вид

а с использованием направляющих косинусов осей вид

Следовательно, для мы имеем где элементы матриц находятся из уравнений (8.18) и выражаются через параметры Последние будут представлять для нас особый интерес, так как мы всегда будем определять и граничные, и внутренние элементы через координаты их узлов.

С учетом этого обстоятельства оказывается полезным введение нормированных локальных криволинейных координат здесь под локальностью мы подразумеваем такой выбор пространства, связанного с каждым рассматриваемым элементом, при котором направления осей в основном диктуются удобством изучения данного элемента, а под нормированностью — соответствующее масштабирование уже преобразованного элемента таким образом, чтобы его размеры было удобно использовать в арифметических выкладках (например, отрезки единичной длины, треугольники с единичной стороной, квадраты п.).

Определяя мы можем упростить (и обобщить) уравнения-. 18) так:

это соответствует

так что после преобразования треугольника (1, 2, 3) к системе он имеет теперь единичные стороны вдоль осей (рис. 8.3, в).

С другой стороны, мы можем получить более симметричные соотношения, если перейдем к однородным координатам, техника использования которых хорошо разработана в аналитической геометрии [4], а именно введем в по одной дополнительной (зависимой) координате соответственно. Действительно, мы можем взять и тогда (8.20) будет иметь вид

Заметим, что если написать просто

то матрица преобразования размером не будет иметь обратной и, следовательно, будет неопределенным.

Путем простого обобщения полученных выше результатов могут быть выведены соответствующие соотношения для трехмерной ячейки в виде тетраэдра (рис. 8.4, а).

Рис. 8.4. Отображение «линейного» тетраэдра.

Легко убедиться в том, что при указанной на рисунке нумерации узлов уравнения (8.20) — (8.22) переходят в следующие:

Если мы, как и выше, введем однородные координаты так, что то получим либо

либо (что предпочтительнее)

Вид нормированных координат изображен на рис. 8.4, 6.

Другая интерпретация симметричных однородных координат в двумерном случае и в трехмерном) показана на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Координаты «в площадях» и «в объемах»

Первая диаграмма (рис. 8.5,а) определяет то, что обычно называется координатами «в площадях» для треугольника, где — полная площадь треугольника, площадь меньшего треугольника, находящегося напротив узла 1. Очевидно, что и произвольная точка может быть однозначно определена через Требуя, чтобы точка преобразовывалась в точку ( в системе координат мы получим линейно меняющееся поле значений заданное соотношением

следовательно, совпадают.

Если мы определим координаты «в объемах» для тетраэдра (рис. 8.5,б), так что по аналогии с треугольником то последние члены в (8.28) следует заменить на и принять Следовательно, для «линейного» тетраэдра

Эта идея с тем же успехом могла бы быть применена к линейному элементу, определенному соотношением (тогда или к четырехугольнику, заданному четырьмя координатами площадей треугольников, например к

параллелограмму, изображенному на рис. 8.7, в, а

Таким образом, фактически рассмотрев лишь преобразование плоской треугольной ячейки (1, 2, 3) (рис. 8.3) при переходе из системы координат х в систему , мы достигли существенного прогресса в описании дифференциальных элементов площади. Ясно, что в соответствии с (8.4) соотношение (8.28) также может быть записано в виде геометрические базисные функции просто совпадают с Аналогично мы можем определить линейно меняющееся поле смещений в треугольнике путем введения, скажем, матрицы узловых смещений, так что (см. соотношение (8.3)), или некоторой скалярной переменной со значениями в узлах 1,2,3, так что Совершенно очевидно, что

Последним и наиболее общим «линейным» элементом, использующимся в МГЭ, является треугольная поверхностная ячейка на границе трехмерного тела. Один из таких граничных элементов показан на рис. 8.6 и фактически соответствует треугольнику (1, 2, 4) на рис. 8.4, а, если не считать иной нумерации узлов (узлы 3 и 4 совпадают и имеют номер 3).

Формулы геометрического преобразования следуют из (8.23) и (8.24):

или из (8.28):

Рис. 8.6. Отображение граничных элементов.

последнее соотношение отличается от (8.28) лишь тем, что теперь все векторы х и X имеют по три компоненты.

Согласно всему изложенному выше, для «линейных» элементов (с треугольными гранями), заданных координатами своих узлов, элементы матрицы Якоби преобразования являются константами и соответствующие базисные функции, тесно связаны с однородными координатами элементов.