Приложение Б. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА

Б.1. Общая форма теоремы Гаусса

Рассмотрим функцию которая является типичной скалярной компонентой общего тензорного поля произвольного ранга. Все компоненты этого поля представляют собой непрерывные и необходимое число раз дифференцируемые в области V и на ее границе S функции координат.

Рис. Б.1. Параллельный оси элемент объема и значения векторного поля на элементах поверхности .

Рассматривая изображенный на рис. элемент объема с осью, параллельной оси имеем

Здесь и в дальнейшем одной звездочкой помечены значения соответствующих величин на правом конце элемента объема, а двумя звездочками — на левом конце этого элемента. Для внешней единичной нормали и элементов площади имеем

и поэтому

откуда

и аналогично для всех других компонент , что дает окончательно

Это соотношение и представляет собой общую форму теоремы Гаусса [1].

Из уравнения которое применимо для любого числа измерений, непосредственно следует много классических интегральных теорем и выражений для законов сохранения [1, 2].

1. Для скалярной функции

2. Для векторной функции F:

(а) Теорема о дивергенции:

Если положить что соответствует уравнениям потенциального течения жидкости то

т. е.

что выражает закон сохранения массы при потенциальном течении жидкости.

(б) Теорема Стокса:

3. Для тензорных компонент тензора второго ранга:

Если равны компонентам напряжений), (уравнения равновесия), то

что можно рассматривать или как уравнение сохранения потока напряжений, или как условие общего равновесия.

Б.2. Формулы Грина

Они следуют непосредственно из Если векторное поле связано с двумя скалярными полями формулами

то

Подстановка этих выражений в приводит к первой формуле Грина:

или

Меняя местами и вычитая полученный результат из мы исключаем член и получаем вторую формулу Грина:

или

Б.3. Формулы для прямого метода граничных элементов

Последним выражением можно воспользоваться при получении основного тождества для уравнения Лапласа, что прямо ведет к стандартному соотношению ПМГЭ.

Если считать, что в безразмерных переменных потенциал (т. е. — поток введенная в гл. 3 функция Грина для безграничной

среды, и подставить эти выражения в то мы получим соотношение ПМГЭ (3.30):

Действительно, если в качестве взять выражения, соответствующие источнику в трехмерной среде, и положить то из полученного уравнения немедленно будет следовать третья формула Грина (1828 г.). С другой стороны, идея представления в виде произведения двух функций, использованная при выводе формул Грина, может пригодиться для вывода аналогичных соотношений для произведения тензорных величин более высокого ранга [31. Например, полагая где а — дифференцируемые поля смещений и напряжений в упругом теле соответственно, и используя, как при выводе уравнение получаем

и

Если вычесть одно уравнение из другого, то первые члены в левой части взаимно уничтожатся, так как

и

оказываются тождественными из-за симметрии по различным индексам. Поэтому получаем

В случае равновесия Таким образом, это уравнение представляет собой тождество Бетти — Максвелла

Отметим еще раз, что соотношение ПМГЭ для теории упругости оказывается следствием специального выбора состояния со звездочкой, т. е. функции Грина (фундаментального решения) для безграничной среды [гл. 4, уравнения (4.35) и (4.37)].

Мы видим, что для всех упомянутых здесь дифференциальных

операторов выполняются два условия, позволяющие получать тождества, из которых вытекает соотношение

1) симметрия различных членов в этих тождествах [см. и ;

2) теорема о дивергенции Гаусса и ее справедливость в .

Б.4. Интегрирование дифференциальных операторов

Изложенный выше подход связан с дифференциальными операторами специального типа (самосопряженными операторами), которые входили во все наши уравнения. В начальных главах мы выводили уравнения МГЭ, используя процедуру интегрирования по частям. Такой подход является более общим, чем представление в виде симметричного произведения, что приводит к и Пусть общее дифференциальное уравнение представляется в виде

и мы проводим интегрирование по частям произведения на некоторую нужное число раз дифференцируемую и непрерывную функцию в Мы будем шаг за шагом переносить наш дифференциальный оператор с и на и одновременно проводить интегрирование функций на [см., например, (2.20), (2.28) — (2.32) и Общая форма полученных соотношений всегда удет следующей:

здесь оператор называется сопряженным к Дифференциальные операторы появляются вследствие процедуры интегрирования по частям.

Во всех рассмотренных случаях и поэтому все операторы являются самосопряженными. Например, в задачах о потенциальном течении жидкости процедура интегрирования по частям дает

[трехмерную форму уравнений (3.28), (3.30)], откуда видно, что оператор Лапласа является самосопряженным и Эгот результат получается, если в качестве функции использовать функцию Грина для безграничной среды.

Второй пример относится к одномерной задаче изгиба балки

уравнение (2.30], для которой эквивалентное уравнение представляется в виде (здесь используется обозначение

Отсюда следует, что бигарионические операторы тоже являются самосопряженными.

Отметим, что в таких случаях заданные наборы называются существенными граничными условиями и естественными граничными условиями. На поверхности могут задаваться произвольные граничные условия, но для того чтобы решение было единственным, хотя бы в одной точке должны быть заданы существенные граничные условия [4]. Так, в задаче о потенциальном течении жидкости потенциал из соответствует существенным граничным условиям, а поток естественным. В случае бигар-монического оператора когда четыре граничных оператора были взяты в симметричной форме, мы видим, что смещения и градиенты смещений (углы наклона) относятся к существенным граничным условиям, а моменты и перерезывающие силы — к естественным. Ясно, что в теории упругости этими двумя группами величин будут граничные смещения и усилия соответственно.

Введенные выше операторы являются не только самосопряженными, но и положительно определенными, т. е. удовлетворяют условию

для всех и причем равенство имеет место только при и Задачи, в которые входят операторы, обладающие этими свойствами, могут быть решены описанными в этой книге методами; для дифференциальных операторов других типов это еще не доказано

Б.5. Литература

(см. скан)