3.11. Заключительные замечания
В данной главе мы распространили идеи, лежащие в основе непрямого и прямого МГЭ и изложенные в гл. 2 для одномерных задач, на двумерные задачи теории потенциальных течений. Одной из наиболее замечательных особенностей рассмотренных методов является то, что с увеличением размерности задач основные шаги процедуры получения решения фактически остаются неизменными. В дальнейшем, используя тензорные индексные обозначения, введенные в настоящей главе, мы покажем, что алгоритмы решения двумерных и трехмерных задач о потенциальном течении в принципе действительно являются идентичными (см. гл. 5).
Снова стоит обратить внимание на то, что необходимые при этом единичные решения для «неограниченного пространства» хорошо известны для всех классических уравнений сплошной среды, точно так же, как и связанные с ними интегральные тождества (например, (3.37)), которые, следовательно, уже нет необходимости выводить для того, чтобы можно было воспользоваться МГЭ. Фактически, как только техническая сторона дела становится до конца понятной, процедура решения сводится просто к последовательному формированию матричных уравнений, таких, как (3.22) и (3.44), их решению, а затем обратной подстановке результатов в аналогичные уравнения (в данном случае (3.7), (3.8) и (3.30), (3.38)) для получения значений искомых переменных в некоторой выбранной последовательности точек.
Матрицы, которые должны быть обращены, совершенно не связаны с видом распределений внутренних источников, и коэффициенты в полной системе уравнений, такой, как (3.22), (3.44) или (3.62), (3.66), зависят лишь от геометрии области и свойств материала и, следовательно, не зависят от типа заданных граничных условий. Одним из следствий этого является то, что алгоритмы МГЭ, выражаясь на языке метода конечных элементов (МКЭ), приводят к фиксированной «матрице жесткости» для однородной области
некоторой произвольной формы, и в этом смысле каждую такую область можно считать одним «суперэлементом» (см. уравнения (3.49) и (3.19), (3.20)). Комбинирование МГЭ и МКЭ обсуждается в соответствующем параграфе гл. 14.
Выше мы стремились обратить особое внимание на «двухточечную» природу введенных сингулярных решений и, несмотря на то что некоторые уравнения выглядели в связи с этим довольно громоздко, настаивали на различении ролей каждого из двух аргументов в обеих процедурах непрямого и прямого МГЭ. После того как важность упорядочения аргументов становится до конца понятной, можно воспользоваться очень простой и компактной матричной формой записи дискретизированных интегральных уравнений.
Чтобы проиллюстрировать свойства сингулярных решений и технику их интегрирования, мы, насколько это возможно, нашли в конечном виде интегралы от этих фундаментальных решений по линейным элементам и треугольным ячейкам. Соответствующие выкладки, как может показаться на первый взгляд, являются не более чем скучными упражнениями, однако вычисление подобных вспомогательных интегралов (безразлично как — численными или аналитическими методами) является неотъемлемой частью рассмотренных методов и определяет в конечном счете их точность и эффективность. Каждый из этих интегралов, безусловно, может быть найден численно, а для самых общих процедур, в которых используются криволинейные элементы, численные квадратуры становятся уже совершенно неизбежными.
Некоторые из примеров «решенных задач», приведенных в § 3.10, достаточно сложны; несмотря на наличие анизотропии, зональной неоднородности, смешанных граничных условий и даже (в разд. 3.9.1) внутренней поверхности (положение которой заранее не известно), решения, полученные с помощью МГЭ, являются весьма удовлетворительными с точки зрения как точности, так и вычислительных затрат.
В заключение мы бы порекомендовали перед переходом к гл. 4 тщательно изучить содержание гл. 2 и 3 для достижения полной ясности в основных технических операциях, так как они выполняются аналогичным образом при решении задач теории упругости. Тогда некоторое дополнительное усложнение, связанное с появлением тензорных ядер более высокого порядка (обусловленных четвертым порядком дифференциальных уравнений теории упругости), уже не составит действительных трудностей при окончательном формировании матричного уравнения, и оно в принципе будет осуществляться точно так же, как и в рассмотренных выше случаях.
3.12. Литература
(см. скан)
