10.3. Термоупругость и консолидация

10.3.1. Основные уравнения

Основные уравнения для неустановившегося процесса в пористом упругом теле (консолидация) и уравнения термоупругости очень похожи [46, 47]; поэтому в этом разделе мы рассмотрим лишь первые.

Как и в гл. 3 и 5, скорость поровой жидкости определяется выражением

где изотропная проницаемость и полный напор.

Скорость потока жидкости из единицы объема пористого тела равна Если поры заполнены несжимаемой жидкостью, то эта скорость должна быть равна скорости уменьшения объема, которая в свою очередь равна и противоположна по знаку скорости объемной деформации; поэтому

Полный напор складывается из избыточного напора и гидродинамического напора давление в жидкости, а удельный вес жидкости).

Так как мы имеем

Используя представления об эффективных напряжениях мы можем легко показать, что

где К — объемный модуль скелета, среднее эффективное напряжение, среднее полное напряжение. Комбинируя (10.21) и (10.22), получаем уравнение

которое описывает течение жидкости в пористой среде.

Уравнение (10.23) может быть решено для любой комбинации граничных условий, которые выражены через или вместе с начальными условиями для при как обсуждалось в гл. 9, при условии что мы априори знаем величину (зависящую от времени) из решения уравнений, определяющих деформирование твердого скелета.

Уравнение (10.23) можно переписать в виде

Для того чтобы определить деформирование твердого скелета, мы можем преобразовать уравнения равновесия, записанные через функцию полного напряжения, т. е.

к форме, включающей эффективные напряжения и градиенты (давления поровой жидкости, т. е.

Соотношения между напряжениями и деформациями, как и прежде, таковы:

где и V — модуль сдвига и коэффициент Пуассона скелета соответственно.

Используя (10.26) и соотношения между напряжениями и деформациями, получаем дифференциальные уравнения, определяющие поведение тела:

где функции координат и времени.

При сформулированных граничных условиях можно решить уравнение (10.27) относительно (полного усилия), если величина известна из решения уравнения (10.24).

Очевидно, что уравнения (10.24) и (10.27) образуют систему и в общем случае должны решаться одновременно. В простой теории консолидации уравнения разделяются, если принять (это может быть предположение или реальное условие) и решать (10.23), как объясняется в гл. 9.

Согласно гл. 9 можно записать прямое интегральное представление уравнения (10.24):

где нормальная скорость на границе, ядра, начальное распределение при а означает свертку.

В случае установившегося термоупругого состояния интегральное представление для (10.22) в силу (6.19) принимает вид

для любого

Соответствующие уравнения непрямого МГЭ имеют вид

для жидкости и

для скелета.

Дополнительное слагаемое появляется из-за того, что мы можем вычислить только эффективные напряжения из (10.31а), которые должны быть поэтому записаны через полные напряжения и полные усилия. Граничные условия всегда выражаются через яолные усилия.

Одна из многих привлекательных особенностей МГЭ заключается в том, что можно рассматривать тела, не сжимаемые при Замечая, что для несжимаемого тела и что модуль сдвига объемной системы жидкость — деформируемое твердое тело должен быть равен модулю сдвига скелета (так как предполагается, что жидкость не сопротивляется сдвигу), мы можем записать (10.28) для

где вычисляются при

Решение уравнения (10.32) позволит нам вычислить полные напряжения в любой внутренней точке при Эффективные напряжения а. при могут затем быть получены из (10.26), и легко показать, что избыток давления поровой жидкости при

должен быть равен

Ниже развита схема численного решения, основанного на предположении, что величины остаются постоянными в течение конечного интервала времени

1. Решаем (10.32) и получаем распределение давления поровой жидкости при

2. Приняв и начальное условие в виде решаем (10.28), откуда получаем распределение Это можно сделать при помощи алгоритма, описанного в гл. 9.

3. Используем значения чтобы решить (10.29), замечая, что функции теперь должны вычисляться с использованием модулей скелета. Определяем а., и величину для выбранного интервала.

Это завершает решение для шага по времени от до Для следующего шага по времени от до мы используем из первого шага схемы как начальное условие для и для функции источника в объеме соответственно и решаем (10.28), чтобы найти значение Затем мы возвращаемся к (10.29) для определения и величины снова — на этот раз для Эта процедура может быть повторена для каждого последующего интервала времени.

10.3.2. Примеры

Типичный пример решенной задачи, который относится к консолидации (изменению во времени осадки) основания в виде полосы (плоская деформация) на пористом водонасыщенном сжимаемом упругом полупространстве, приведен на рис. 10.3 вместе с использованной схемой дискретизации. Эта задача симметрична относительно центральной линии, и поэтому внутренняя ячейка интегрирования была выбрана, как показано, равной от середины основания.

На рис. 10.4 и 10.5 соответственно показаны рассчитанная степень консолидации под основанием и изменение вертикального напряжения в точке А под основанием как функции безразмерного времени