3.3. Сингулярные решения

Фундаментальные решения уравнения (3.1), составляющие основу всего последующего анализа, представляют собой значения потенциала в произвольной точке наблюдения обусловленные единичным источником интенсивности помещенным в точку приложения нагрузки Хотя начала координат систем совпадают, за каждой из них совершенно необходимо сохранить ее специальное назначение. Таким образом, классическое сингулярное решение может быть записано в виде

где

а константа такова, что при и

Функция является «двухточечной» функцией, зависящей от координат двух точек, а так как нам потребуется дифференцировать или интегрировать по х или по то различие между двумя аргументами должно быть сохранено.

Выражение (3.4) определяет потенциал относительно его нулевого значения при следовательно, не стремится к нулю, когда Такое «логарифмическое поведение на бесконечности» означает, что при использовании непрямого МГЭ потребуются дополнительные уравнения (см. разд. 2.3.1).

Дифференцируя (3.3) по мы получим компоненты вектора потока (скорости)

Если компоненты единичного вектора внешней нормали к линейному элементу, проходящему через точку то скорость вдоль равна

или

где

Стоит отметить, что функция является антисимметричной и меняет знак при замене х на гогда как симметрична по своим аргументам При оба сингулярных выражения (3.4) и (3.6) для соответственно неограниченно возрастают

при когда точки наблюдения и приложения нагрузки совпадают). Первое выражение, содержащее является лишь «слабо сингулярным» и интегрируется обычным образом вдоль линейного элемента, проходящего через особую точку причем особенность у этой функции, как будет показано, после интегрирования вообще пропадает. Второе выражение, содержащее особенность порядка является «сильно сингулярным» и уже не может быть проинтегрировано в обычном смысле вдоль линейного элемента, проходящего через особую точку. Такие сингулярные функции играют главную роль во всех как мы увидим в дальнейшем, обеспечивают диагональное преобладание матрицы получаемых в результате уравнений.