1.3. Исторический обзор развития методов граничных элементов
В то время как главные свойства дифференциальных уравнений были хорошо уяснены в девятнадцатом веке, первое строгое исследование интегральных уравнений классических видов было опубликовано Фредгольмом только в 1905 г. С тех пор они интенсивно изучались, особенно в связи с теорией поля, и имеется много учебников, излагающих эти результаты [3, 4]; впрочем, нам нет необходимости часто обращаться к ним.
Значительный вклад в формальное понимание интегральных уравнений был сделан позднее С. Г. Михлиным 15—7], который обсуждает такие уравнения как со скалярными, так и с векторными (многомерными) подынтегральными выражениями, и в частности с особенностями и разрывами в области интегрирования. Все это излагается на строгой математической основе, которая не вполне знакома большинству ученых-прикладников. Несмотря на большие успехи, достигнутые в классификации и анализе свойств интегральных уравнений, оказалось, что никто из крупных авторов, по-видимому, не рассматривал возможности построения
основанного на этих уравнениях общего численного алгоритма решения широкого класса практических задач. Толчок этому развитию был дан созданием быстродействующих ЭВМ, и результатом было появление метода граничных элементов.
Хотя все МГЭ имеют общее происхождение, они естественным образом делятся на три различные, но тесно связанные между собой категории.
1. Прямой вариант МГЭ. В этом варианте неизвестные функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи. Так, например, в задачах теории упругости такое решение интегрального уравнения должно сразу давать все усилия и смещения на границе, а внутри тела они должны быть получены из граничных значений численным интегрированием. Некоторые из недавно разработанных алгоритмов, основанных на этом подходе, описаны Крузом, Лаша, Риццо, Шоу, Уотсоном и другими [8—23] и названы ими методами граничных интегральных уравнений.
2. Полупрямые варианты МГЭ. В качестве альтернативы можно составлять интегральные уравнения для неизвестных функций, аналогичных функциям напряжений в теории упругости или функциям тока при потенциальном течении. Когда получено решение для этих функций, простое дифференцирование даст, например, распределение внутренних напряжений. Этот подход, известный под названием полупрямого метода, был развит Генри, Джесуоном, Понтером, Римом и Симмом [24—28].
3. Непрямые варианты МГЭ. В непрямом варианте интегральные уравнения полностью выражаются через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенное с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области. (Фундаментальное сингулярное решение дифференциальных уравнений может быть, например, функцией Грина для неограниченной области; отсюда следует, что МГЭ и так называемые методы функций Грина тесно связаны.) Сами по себе функции плотности не имеют определенного физического смысла, но, когда они найдены (численным решением интегральных уравнений), значения параметров решения везде внутри тела могут быть получены из них простым интегрированием. Недавно развитые алгоритмы, основанные на таком подходе, описаны Бенерджи, Баттерфилдом, Хессом, Джесуоном, Массоне, Оливейрой, Симмом, Томлином, Уотсоном и другими 129—43], использовавшими их для решения широкого круга технических задач.
Настоящая книга целиком посвящена всесторонней демонстрации мощи и простоты этих методов при достаточном, но не формально строгом освещении математической основы. Мы будем иметь дело преимущественно с прямым и непрямым вариантами МГЭ, так как, по нашему мнению, в общем случае они оказываются значительно полезнее полупрямого подхода. Непрямой МГЭ особенно
ясно и просто с физической точки зрения иллюстрирует основную процедуру решения, и поэтому в следующих главах мы будем начинать с описания этого метода.
Сделанные выше ссылки относятся только к последним публикациям, которые используют МГЭ и на основе которых были получены весьма общие алгоритмы решения задач; многие другие исследователи решали частные задачи при помощи очень сходных методов (см. список дополнительной литературы в конце настоящей главы). Большинство одно-, дву- и трехмерных задач механики сплошной среды (с учетом анизотропии, неоднородности и нелинейности), описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, успешно решались при помощи МГЭ.
