4.5.2. Дискретные представления граничных и объемных интегралов

Если разделить двумерную область на треугольных ячеек и границу области на N прямолинейных отрезков, то, как и ранее, для вектора смещений характерной узловой точки граничного элемента можно написать уравнение (4.38) при условии постоянства в пределах каждого элемента и каждой ячейки:

Это уравнение можно переписать в матричной форме:

Если предположить, что известные и неизвестные значения усилий и смещений, а также заданные объемные силы линейно меняются в пределах каждого граничного элемента и каждой ячейки соответственно, то (4.44) принимает вид

где и — значения усилий, смещений и заданных объемных сил в узлах соответственно, вектор смещений в характерной (не лежащей в углу) точке граничного элемента, а базисные функции для граничного элемента и 1-й ячейки соответственно.

Если в задаче имеются угловые точки, то (4.45) не справедливо для точки поля, совпадающей с лежащим в углу узлом. Поэтому в общем случае (4.45) принимает вид

где матрица размером элементы которой являются функциями величины угла, с вершиной которого совпадает узловая точка.

Теперь, устремляя точку поля последовательно ко всем узловым точкам на границе и включая матрицу в соответствующие блоки размером коэффициентов мы можем написать

или — компактнее —

Если теперь осуществить перемещение тела как жесткого целого [14] (это можно сделать с любой областью конечных размеров) в случае объемных сил то усилия на границе при этом не возникнут (т. е. Поэтому (4.47) можно переписать следующим образом:

Легко видеть, что для справедливости написанных выше уравнений для любой системы произвольных перемещений тела как жесткого целого каждый коэффициент диагонального блока размером должен быть равен взятой с обратным знаком сумме соответствующих коэффициентов из всех недиагональных блоков. Так как диагональные блоки размера составлены из членов, включающих и сингулярные интегралы, которые можно найти аналитически (хотя это и затруднительно), эта возможность определения компонент диагональных блоков при помощи значений недиагональных блоков является полезным свойством прямого метода граничных элементов.

К сожалению, этот метод не срабатывает в ряде задач, где недиагональные блоки матрицы равны нулю (например, в задачах о нагруженном полупространстве). Сравнительно недавно Уотсон [151 разработал модификацию этой процедуры, позволяющую пользоваться ею в задачах для полубесконечных внешних областей.

Другую возможность решения таких задач дает применение описанного выше непрямого МГЭ.

Все объемные и поверхностные интегралы, необходимые при вычислении недиагональных блоков из уравнения (4.47), могут быть определены при помощи различных формул численного интегрирования, рассмотренных ранее (см. разд. 4.4.2). Диагональные блоки матрицы а в некоторых случаях (как указано в предыдущем параграфе) и матрицы должны определяться при помощи разбиения интегралов на две части, как показано в разд. 4.4.2. Включающие постоянную часть базисной функции интегралы вычисляются с помощью введения локальной системы координат, показанной на рис. 4.6, с последующим (описанным выше) преобразованием результатов к глобальной системе координат. Поэтому для точки поля внутри области (результаты для точки поля, как угодно близкой к граничному узлу, получаются так, как показано на рис. 4.7) имеем [13]

Заметим, что, хотя (4.49) совпадает с (4.26), выражение (4.50) существенно отличается от (4.27); в частности, компоненты тензора зависят от вектора внешней нормали поскольку нормаль теперь связывается с нагруженными элементами.

Получив неизвестные значения смещений и усилий вместе с заданными значениями смещений и усилий, мы определяем смещения, деформации и напряжения внутри области по формулам

Очевидно, что в ПМГЭ определение деформаций и напряжений во внутренних точках связано со значительно большими вычислительными усилиями, чем в непрямом методе.

В случаях когда необходимо знать деформации и напряжения во многих внутренних точках, удобнее вычислять точные значения смещений в достаточном количестве внутренних узлов, а затем находить по ним напряжения и деформации описанным в разд. 4.4.2 методом.