12.9. Примеры

(а) Круговое кольцо под действием внутреннего давления [24]. Численные результаты для задачи о деформировании кругового

(кликните для просмотра скана)

кольца при возрастающем с постоянной скоростью внутреннем давлении представлены на рис. 12.7. В работе [24] эта задача была решена на основании модели Харта, упомянутой выше. На рис. 12.8 показано разбиение на граничные элементы и внутренние ячейки. Для скорости неупругой деформации принималось линейное и кусочно-постоянное восполнение в пределах граничных элементов и во внутренних ячейках соответственно.

(б) Круговой цилиндр под действием внутреннего давления [32]. Были получены два решения этой задачи, использующие грубую и мелкую граничную и внутреннюю дискретизации. Грубая дискретизация была подобна показанной на рис. 12.8, в мелкой имелось вдвое больше граничных элементов и внутренних ячеек. Предполагалось, что деформирование материала описывается упруго-идеальнопластической моделью Мизеса, и при решении использовался алгоритм метода начальных напряжений.

Вычисленные перемещения внешней поверхности цилиндра при постепенно увеличивающемся внутреннем давлении вместе с

Рис. 12.9. Толстостенный круговой цилиндр под действием внутреннего давления; сравнение аналитических результатов и результатов, полученных МГЭ. Использовались приращения нагрузки переменной величины. Нанесены не все результаты.

(кликните для просмотра скана)

аналитическими результатами показаны на рис. 12.9. Следует ожидать небольших различий между двумя численными решениями при начальном течении, поскольку на них сильно влияет размер ячеек, которые используются около внутренней границы. Однако согласование аналитических и численных значений все же очень хорошее, и результаты, полученные на основе двух различных схем дискретизации, показывают устойчивость и сходимость примененного метода решения.

Типичные окружные напряжения на начальной стадии течения и окружные напряжения в момент времени, когда граница пластической зоны проходит при , полученные с использованием мелкой дискретизации, показаны на рис. 12.10. Снова численные результаты и аналитическое решение находятся в хорошем соответствии. Решения, полученные с использованием приращений нагрузки, составляющих 5 и 7.5% нагрузки, при которой начинается течение, в сущности, совпадают при заданном уровне нагрузки.

(в) Пластина с отверстием при растяжении [33]. Теокарис и Маркетос (см. [30]) экспериментально исследовалидеформирование алюминиевых пластин с отверстиями в условиях одноосного растяжения. Граничная и внутренняя дискретизации, использованные для решения МГЭ задачи, моделирующей эксперимент, показаны на рис. 12.11. Интересно отметить, что внутренняя дискретизация умышленно ограничивается областью, которая при возрастании нагрузки, вероятно, станет упругопластической. Учитывая геометрию задачи и условия нагружения, опытные инженеры обычно могут правильно определить такие области и за счет этого существенно уменьшить стоимость вычислений и подготовки данных.

Экспериментальная и расчетная зависимости между нагрузкой и максимальной деформацией в точке начала течения представлены в безразмерном виде на рис. 12.12 вместе с результатами расчета МКЭ с использованием начальных напряжений. Согласование решений вполне удовлетворительное. Рассчитанные и измеренные напряжения в ослабленном сечении пластины (т. е. в ее сечении прямой, проходящей через центр отверстия перпендикулярно направлению растяжения) при нагрузке, несколько меньшей разрушающей, представлены на рис. 12.13.

(г) Квадратная пластина с эллиптическим отверстием [24]. Квадратная пластина с эллиптическим отверстием недавно исследовалась Морджариа и Мухерджи с использованием модели Харта. На рис. 12.14 показана выбранная ими схема граничной и внутренней дискретизации. Область впоследствии разбивалась на значительно более мелкие ячейки. Интересно отметить произвольность внутренней дискретизации, которая возможна при использовании МГЭ (т. е. ее не обязательно согласовывать с дискретизацией, принятой на границе области).

Рассчитанные напряжения в сечении пластины по продолжению большой оси отверстия в различные моменты времени показаны

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

на рис. 12.15. В примере эллиптическое отверстие имело отношение Ьсей, равное 4, что приводит к высокому (около 10) коэффициенту Концентрации упругих напряжений в точке А. Поэтому вначале имеет место резкий пространственный градиент напряжений, и пластическое течение вызывает очень быструю релаксацию напряжений около выреза. Вблизи концентратора напряжений упругое решение отклоняется от точного не более чем на 4%.

(д) Действие нагрузки на упругопластическую полуплоскость [32, 33]. Для приведенных ранее примеров стоимость вычислений по программе МГЭ первого поколения была примерно на 50% выше, чем для соответствующего решения с использованием метода конечных элементов. В то же время МГЭ особенно привлекателен для задач, где упругая область простирается до бесконечности, а пластическая область ограничена окрестностью загруженной площадки. Бесконечно удаленная граница упругой области учитывается автоматически, без дискретизации. Это свойство присуще только МГЭ.

Чтобы решить задачу об упругопластической полуплоскости, нагруженной постепенно возрастающим давлением на границе (в условиях плоской деформации), использовалась симметрия относительно прямой, проходящей через середину участка приложения нагрузки перпендикулярно границе. Четверть плоскости представлялась затем 40 граничными элементами и 64 треугольными ячейками, расположенными в окрестности участка нагружения.

Рис. 12.16. Зависимость нагрузки от смещения при действии нагрузки на упругопластическую полуплоскость.

Задача решалась для упрочняющегося упруго-идеально-пластического и разупрочняющегося ограничено по абсолютной величине) материалов. Рассчитанные для этих трех случаев соотношения между нагрузкой и смещением границы в середине участка приложения нагрузки графически представлены на рис. 12.16.

Интересно отметить, что для упруго-идеальнопластического случая наименьшая нагрузка, при которой не удается добиться сходимости метода, примерно на 3% ниже точного аналитически найденного значения разрушающей нагрузки, составляющего Решение для случая разупрочнения не может, конечно, иметь смысл при произвольном выборе параметра разупрочнения поскольку во время пошагового процесса может возникнуть возможность появления неединственного решения. Кроме того, критерии нагружения и разгрузки в инкрементальной теории пластичности не допускают разупрочнения.

(е) Смещения границы упругого полупространства, обусловленные пластическими деформациями расположенного внутри нега куба [32, 35]. Чтобы проверить точность метода при решении трехмерных упругопластических задач, была рассмотрена недавно решенная задача (Цзю [47]) об определении поля смещений, обусловленного пластическими деформациями куба, находящегося внутри упругого полупространства. представил очень точное решение этой задачи, полученное методом интегральных преобразований, и построил график зависимости вертикальных смещений точки поверхности, находящейся над кубом, от глубины, на которой куб находится под поверхностью, для трех различных распределений пластической деформации в кубе:

1) только вертикальная скорость пластической деформации

2) только горизонтальная скорость пластической деформации

3) во всех трех направлениях скорости пластической деформации равны

Чтобы воспроизвести результаты Цзю, свободная от усилий поверхность дискретизировалась с использованием 34 квадратных граничных элементов. Симметрия задачи учитывалась тем, что использовались неизвестные только для одного квадранта и предполагались те же самые распределения в оставшихся квадрантах. Построена зависимость рассчитанных значений вертикальных смещений точки свободной поверхности, находящейся над кубом, обусловленных начальными напряжениями и соответствующих трем значениям пластической деформации, от расстояния куба от поверхности (рис. 12.17). Можно видеть, что численное решение находится

Рис. 12.17. Вертикальное смещение поверхности, обусловленное начальными деформациями куба.

в превосходном соответствии с результатами Цзю, за исключением того случая, когда куб очень близок к поверхности. Это происходит из-за трудностей, возникающих при численном нахождении слабо сингулярного объемного интеграла. Максимальная ошибка тем не менее составляет только около 4%.

(ж) Задача о вдавливании жесткого квадратного штампа в полупространство [32, 35]. На рис. 12.18 показана кривая нагрузка — осадка при вдавливании квадратного штампа в поверхность

Рис. 12.18. Зависимость нагрузка — осадка для жесткого квадратнго штампа.

(кликните для просмотра скана)

упруго-идеальнопластического полупространства. Точное решение этой задачи неизвестно, но разрушающая нагрузка для жесткого кругового штампа дается формулой где радиус штампа и Разрушающая нагрузка для кругового штампа, имеющего ту же площадь контакта, что и квадратный штамп, для сравнения показана на рис. 12.18 штрихпунктирной линией. Проведенные расчеты дают разрушающую нагрузку, несколько большую, чем как и следовало ожидать.

Стоит отметить, что начальное течение под углом штампа возникает на очень ранней стадии нагружения. Дискретизация поверхности, использованная для этой задачи, та же, что и в предыдущем примере; вдобавок использовались 60 кубических ячеек для вычисления вкладов от возникших начальных напряжений. Время счета на ЭВМ CDC 7600 составило около 6 мин.

(з) Задача о горизонтально нагруженной свае при воздействии циклической нагрузки [32, 35]. В то время как все предшествующие примеры были решены общим методом с использованием (1) ядер, полученных из решения Кельвина, и (2) упругопластической модели с изотропным упрочнением, данная задача исследовалась с использованием решения Миндлина и модели с кинематическим упрочнением. Граничное условие отсутствия напряжения на поверхности полупространства автоматически учитывается решением Миндлина; поэтому необходима только дискретизация поверхности раздела свая грунт. Свая представляется как линейный конструкционный элемент (см. Бенерджи и Дрисколл [48], Бенерджи [49], а также Бенерджи и Девис [50]).

Хотя материал предполагался однородным в смысле упругих свойств, принималось, что предел текучести линейно изменяется с глубиной. Параметр упрочнения для модели с кинематическим упрочнением принимался равным где «модуль Юнга» для грунта.

На рис. 12.19 показаны кривые нагрузки, разгрузки и повторного нагружения для сваи, а на рис. 12.20 — распределения упругого изгибающего момента в начальный момент и в конце каждого повторного нагружения. Такого рода анализ, очевидно, применим для исследования любого возможного случая действия неразрушающей нагрузки для циклически нагружаемых конструкций.