Соответствующие напряжения 
в точке 
и поверхностные усилия 
на проходящей через точку 
поверхности с внешней нормалью 
выражаются формулой
откуда, используя соотношения 
получаем
Перед тем как продолжить изложение, зададим себе следующие вопросы:
1) Удовлетворяют ли интегралы, входящие в соотношения (4.11) — (4.14), дифференциальным уравнениям задачи во всей интересующей нас области?
2) Существуют ли эти интегралы во всей области V и на всей поверхности 
Очевидно, что поверхностные интегралы в (4.11) — (4.14) удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности во всей области V, потому что фундаментальные решения, с помощью которых они получены, удовлетворяют этим уравнениям. Эти интегралы содержат также функции, непрерывные и определенные для всех положений 
в 
В отношении поведения объемных интегралов в области V нужно отметить, что они содержат функции, обращающиеся в бесконечность при 
(т. е. при совпадении точки приложения нагрузки и точки наблюдения). Тем не менее эти интегралы действительно существуют в обычном смысле, поскольку в процессе интегрирования по объему особенности пропадают (т. е. члены порядка 
являются слабой особенностью при интегрировании по объему). Поэтому эти интегралы также удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности в 
Условиям единственности решения, отражающим тот факт, что влияние распределенных сил и усилий не должно распространяться на бесконечность, удовлетворяют интегралы из уравнений (4.12) — (4.14). Уравнение (4.11) будет удовлетворять этим условиям, если потребовать, чтобы компоненты С смещения тела как твердого целого принимали специальные значения, которые в точности компенсируют совместное влияние всех сил 
и усилий [4, 5] на бесконечности. Эти значения 
можно определить при помощи дополнительных уравнений, подобно тому как это делалось в гл. 2 и 3. Однако нужно еще установить существование этих интегралов при приближении точки 
к некоторой точке границы, скажем к точке 
Устремляя точку наблюдения 
к поверхности, мы найдем, что, хотя уравнение (4.11) дает непрерывные в любой точке поля смещений, выражения (4.12) — (4.14) не определены на поверхности, если точка приложения нагрузки и точка наблюдения совпадают. Используя стандартные методы теории потенциала (см. гл. 3), можно получить, например,
если выполняются следующие условия 16, 71:
1) точка 
расположена не на ребре и не в углу (т. е. в этой точке существует единственная касательная плоскость);
2) поверхностный интеграл в (4.16) следует понимать в смысле главного значения по Коши.
Выражение 
в (4.16) положительно, если 
приближается к 
изнутри 
и отрицательно, если х приближается к 
извне 
Поэтому необходимо выбирать подходящий знак в зависимости от того, какая область представляет для нас интерес: внутри поверхности 
или вне ее.
Итак, мы установили, что уравнения (4.15) и (4.16) являются двумя граничными интегральными уравнениями, определяющими решение любой корректно поставленной задачи при использовании непрямого МГЭ. Например, если заданы смещения на 
то уравнение (4.15) позволяет получить значения 
с другой стороны, если на 
заданы усилия, то для вычисления 
используется уравнение (4.16). В случае общей задачи со смешанными граничными условиями уравнение (4.15) можно использовать для той части границы, где задаются смещения, а уравнение (4.16) — для той части границы, где задаются усилия. Результирующие уравнения в этом случае объединяются и решаются совместно так, как это описано в гл. 2 для одномерной задачи.
к которой приложены распределенные по 
усилия 
Смещения 
любой внутренней точки 
(рис. 4.2), обусловленные действием поверхностных усилий 
и известного распределения объемных сил 
можно получить сверткой фундаментальных решений с функциями 
и по 
соответственно:
означают, что интегрирование ведется по переменным 
соответственно. Величины 
представляют собой неизвестные смещения тела как целого, возникающие из-за произвольности выбора 
в уравнении (4.7) [т. е. из-за того, что это уравнение дает лишь относительные значения 
аналогично задачам, которые мы рассматривали в гл. 2 и 3].
