Глава 9. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ О ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ (ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ)
9.1. Введение
Во всех предыдущих главах мы имели дело со стационарными системами, т. е. с такими, в которых ни искомые переменные, ни граничные условия не изменялись со временем. Однако очень многие практически важные задачи в действительности включают «переходные» (или нестационарные) явления, простейшими из которых являются многочисленные процессы, описываемые линейным уравнением «диффузии». Помимо классической диффузии газов и жидкостей наибольший интерес для инженера-исследователя могут представлять такие процессы, как нагрев и охлаждение тел, консолидация материалов типа грунтов под нагрузкой, а также электрические и гидравлические диффузионные явления.
Основным библиографическим источником аналитических решений, функций Грина и т. д. для уравнения диффузии (называемого также уравнением теплопроводности) является известная книга Карслоу и Егера [1]. Существует также обширная литература по численным решениям, которая может быть классифицирована (безотносительно к использованному при этом методу решения: МГЭ, МКЭ, метод конечных разностей и т. д.) по принципу, основанному на обращении с зависящим от времени членом, входящим в уравнение.
Используются в основном два метода: либо (1) пошаговый процесс изменения времени, в котором решение находится последовательно через определенные временные интервалы, отсчитываемые от первоначально заданного состояния, либо (2) преобразование Лапласа по времени, переводящее уравнение диффузии (параболическое) в эллиптическое, сходное с уравнением Пуассона, которое может быть решено в пространстве изображений при помощи техники, описанной в гл. 3 и 5,
Опубликованные ранее работы, посвященные применению граничных интегральных уравнений к решению уравнения диффузии [2—5, 9—11] (из которых наиболее плодотворной была работа Томлина [2], решившего при помощи НМГЭ ряд задач о консолидации общих анизотропных кусочно-однородных грунтовых систем), ограничивались главным образом задачами, в которых отсутствовали распределенные по объему тела зависящие от времени источники. Настоящая глава представляет собой обобщение наших более ранних результатов, учитывающее все подобные эффекты [6, 11].
