Глава 4. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

4.1. Введение

В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ и его применение для численного решения двумерных задач теории упругости в случае малых деформаций. Большая часть представленных в данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3. Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории упругости близко связан с аналогичным выводом теории потенциала [1, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения в теории упругости выражаются системой векторных уравнений в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являющихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории упругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала. Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться системой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где приводятся необходимые пояснения.

4.2. Основные уравнения

Рассмотрим изотропное упругое тело и введем декартову систему координат с осями как показано на рис. 4.1. Дифференциальные уравнения равновесия могут быть записаны как

т.е. как два уравнения вида

где компоненты напряжений, а компоненты объемных сил, отнесенных к единице объема. Закон Гука, связывающий компоненты напряжений и деформаций в изотропном упругом теле, можно записать в виде

Рис. 4.8.

что дает

где упругие постоянные, а символ Кронекера. Деформации и смещения связаны зависимостью

Подставляя (4.2) в (4.1) и используя (4.3), получаем уравнения равновесия Навье относительно компонент смещений

Уравнения (4.4) являются дифференциальными уравнениями нашей задачи, которую следует решать при определенных граничных условиях. Например, граничная задача с заданными смещениями предполагает задание смещений на границе т. е.

В граничной задаче с заданными усилиями считаются известными величины

т. е. функции представляют собой заданные на границе условия.