12.7. Численный алгоритм расчета неупругого деформирования металлов с учетом зависимости от времени

Численный алгоритм расчета неупругого деформирования металлов, использующий модели, основанные на введении внутренних параметров, также опирается на метод начальных деформаций. Поэтому окончательная система может быть записана так:

где точки сверху указывают на истинные скорости изменения переменных во времени Алгоритм определения значений переменных в момент времени на основе известных значений напряжений, деформаций и т. п. при (которые можно получить из решения линейной задачи с заданными начальными условиями) можно сформулировать следующим образом [23, 24].

1. По значениям параметров при из уравнения (12.23) находится величина ел, которая может быть использована для получения граничных значений из уравнения (12.56) и, следовательно, значений и, во внутренних точках.

2. Смещения, напряжения и деформации в момент времени определяются выражениями

3. Напряжения а и внутренние параметры корректируются так, чтобы они являлись теперь текущими значениями в момент времени

Описанный выше шаг 2 является, в сущности, процедурой интегрирования по времени, близкой к используемой в методе Эйлера. Поэтому важно принять эффективную схему интегрирования с автоматическим выбором шага по времени, чтобы обеспечить как устойчивость, так и сходимость решения. В литературе можно найти большое количество таких методов [13], и мы изложим простой, недавно разработанный метод [24] в приложении к дифференциальному уравнению типа (12.34), т. е. к уравнению

Значение выражается через

а ошибка на этом шаге может быть определена как

где разность назад.

Две границы для ошибки могут быть заданы заранее, и алгоритм выбора шага состоит в следующем: заменить на и пересчитать принять и вычислить при помощи (12.58).

Следующий временной шаг выбирается так:

В реальной задаче в качестве величины у будут, конечно фигурировать компоненты напряжений в граничных и внутренних точках. Поэтому ошибка для переменной определяется так:

где суммирование распространяется на значение переменной во всех узлах, и ошибка становится равной