3.5.1. Дискретизация поверхностных и объемных интегралов и формирование матриц систем

Дальнейшие преобразования почти в точности совпадают с подробно описанными в разд. 3.4.1 применительно к непрямому методу, поэтому ниже мы ограничимся лишь упоминанием основных моментов.

Главная задача состоит в решении уравнения (3.35), т. е. в вычислении по заданным граничным условиям остальных первоначально неизвестных граничных значений

Для этого мы снова воспользуемся простейшей схемой дискретизации границы линейными элементами с постоянными распределениями переменных по элементам и постоянными распределениями интенсивностей источников по каждой отдельной внутренней ячейке. Если число граничных элементов равно число ячеек внутри области равно номера их типичных представителей соответственно, то тождество (3.35) для элемента на границе можно записать в виде

Как и в разд. 3.4, в уравнении (3.39) используются координаты для обозначения центров внутренних ячеек, чтобы сохранить за обозначение координат точек границы. Уравнение (3.39) в матричной форме принимает вид

где вектор-столбцы размерности вектор-столбец размерности а члены в скобках — вектор-строки соответствующих размерностей. Сравнивая уравнение (3.40) с уравнениями (3.15) и (3.16), видим, что порядок индексов соответствующий непрямому МГЭ, в прямом МГЭ заменяется на обратный: Это изменение в матричной записи уравнений является следствием перемены ролей аргументов х и подробно рассмотренной в начале данного параграфа. В силу симметричности имеем тогда как совершенно различны.

Интегральные члены в вектор-строках снова могут быть найдены либо численно (во всех случаях), либо аналитически (для простейших функций см. § 3.6). После выполнения суммирования матричное уравнение можно переписать в виде

или

где член включен в диагональные элементы матрицы Варьируя от 1 до мы получим полную систему уравнений вида (3.42)

Здесь опять индексом обозначены матрицы, состоящие из линейных интегралов, содержащих индексом А — матрица, состоящая из содержащих интегралов по элементарным площадкам, арии — векторы граничных значений потенциала и потока, совпадающие с соответственно.

В простейших граничных задачах во всех точках границы задаются значения либо потенциала (и, следовательно, известен вектор либо потока (и тогда известен вектор ). В обоих случаях не заданные на границе значения и или соответственно могут быть найдены непосредственно из уравнения (3.43). В общем случае

смешанной граничной задачи потенциал может быть задан на части а поток — на части границы причем в корректно поставленной задаче всегда Уравнение (3.43) целесообразно нормировать наая для того, чтобы элементы матричных коэффициентов при были величинами одного порядка, а имени"

Подобная нормировка выполняется автоматически путем введения безразмерных переменных.

Уравнение (3.44) очень просто преобразовать таким образом, чтобы известные значения были компонентами одного N-мерного вектора а неизвестные значения другого N-мерного вектора X, так что уравнение (3.44 можно переписать в виде

и разрешить относительно X, после чего все компоненты на границе 5 (т. е. значения на каждом граничном элементе) будут известны.

Как упоминалось ранее, если в некоторой точке границы, где должна быть вычислена функция не существует единственного касательного направления, то коэффициент в свободном члене уравнения (3.30) уже будет равен не 1/2, а некоторой заранее неизвестной величине, скажем Уравнение (3.41) в этом случае изменится:

но если член включить в элементы матрицы лежащие на главной диагонали, то мы снова придем к уравнению (3.43), из которого значения можно найти ] непосредственно, рассматривая решение, соответствующее равномерно распределенному по всей границе единичному потенциалу при Ясно, что при этом поток через границу обращается в нуль и уравнение (3.43) сводится к уравнению из которого следует, что сумма элементов каждой отдельной строки должна быть равна нулю (см., например, уравнение (2.266)). Последнее требование позволяет непосредственно найти значения входящие лишь во внедиагональные элементы следовательно, если ошибки округления невелики, исключает необходимость отдельного вычисления интегралов по окрестностям угловых точек.