14.5. Примеры задач, решенных комбинированием метода конечных разностей и МГЭ

(а) Задача о свайной конструкции в неоднородном упругом грунте [16, 17]. В середине 60-х годов специалисты стали интересоваться возможностью комбинирования метода внутренней дискретизации областей с НМГЭ для решения задач о взаимодействии грунта с сооружением. В самом деле, методы граничных элементов выглядят не слишком привлекательными для моделирования тонких элементов конструкций, работающих на изгиб, тогда как методы внутренней дискретизации, наоборот, являются весьма непривлекательными для массивных трехмерных тел. Поэтому применительно к задачам указанного типа комбинирование этих двух подходов было логически полностью оправданным.

На рис. 14.8 приведены решения для нескольких трехмерных конструкций («кустов» свай, содержащих вертикальные и наклонные сваи), помещенных в трехмерную среду (грунт) с линейно возрастающими по глубине модулями упругости, и численные результаты сопоставлены с данными, полученными в серии полномасштабных натурных испытаний. В данном случае конструкция из свай моделировалась при помощи конечно-разностной схемы, а массивное деформируемое твердое тело (грунт) — при помощи НМГЭ. Приближенное решение [171 задачи о сосредоточенной силе в неоднородном деформируемом теле строилось таким образом, чтобы оно автоматически удовлетворяло граничным условиям на

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 14.11. Сравнение замеренных и вычисленных спектральных энергетических характеристик волн на станции № 3. При вычислении спектра использовались данные измерений (входной спектр) на глубоководной станции № 16, находящейся в от гавани.

поверхности земли, и поэтому дискретизацию необходимо было проводить только на поверхностях контакта свай с грунтом.

(б) Колебания в заливе [23]. Ольсен и Хуан [23] изучали приливные колебания в заливе, используя комбинированную конечно-разностную схему, включающую МГЭ. Переменная по глубине область залива моделировалась с помощью конечных разностей, а внешняя по отношению к ней область бесконечности) — с использованием вычислительной схемы МГЭ. На рис. 14.9 показан изучавшийся ими залив, а на рис. 14.10 и 14.11 - распределение коэффициента усиления волн и волновой спектр соответственно.

(в) Задача упругогидродинамической теории смазки [38—40]. Решение задач упругогидродинамической теории смазки предполагает решение уравнения Рейнольдса

где коэффициент вязкости, толщина смазочного слоя, плотность, давление, — гидродинамическая скорость.

Давление в уравнении (14.51) влияет на толщину смазочного слоя и коэффициент вязкости Уравнение (14.51), очевидно, является сильно нелинейным; более того, упругая деформация области контакта, которая может быть найдена МГЭ, также влияет на толщину смазочного слоя

Данная задача была решена Снайдлом и другими [38—40] при

Рис. 14.12. (см. скан) Типичное решение задачи упругогидродинамической теории смазки (при контакте сферы с полупространством).

помощи метода, объединяющего разностную аппроксимацию уравнения (14.51) с МГЭ, который использовался для вычисления упругих деформаций твердого тела, возникающих под действием заранее неизвестного распределения давления. Окончательное решение получалось путем чередующихся итераций МГЭ и решения конечно-разностных уравнений. Было установлено, что уравнение (14.51) удобно преобразовать к виду

относительно новой переменной

На рис. 14.12,а показано распределение давления по площадке контакта Между сферой и полупространством. Соответствующие данные были таковы: гидродинамическая скорость нагрузка на сферу радиус сферы модуль Юнга Распределение давления приведено в виде безразмерных значений где соответствующее максимальное герцевское давление в случае контакта без смазки, а круг, показанный штриховой линией, отвечает герцевской площадке контакта при сухом трении. На рис. приведены контуры равной толщины смазочного слоя толщина слоя в центре площадки контакта.

Рис. 14.13. (см. скан) Линии тока во вращающейся системе координат в отдельные моменты времени для колеблющегося крыла Жуковского Относительной толщины 12%.

(г) Обтекание колеблющегося крыла вязкой жидкостью [21]. Санкар и Ву [21] описали численный алгоритм решения данной задачи, в котором для уравнения переноса завихренности использовалась конечно-разностная схема, а для кинематического уравнения завихренности — ПМГЭ [см. гл. 13, где объясняется также, почему на самом деле нет необходимости в использовании конечно-разностной схемы для уравнения переноса завихренности, так как подобные задачи с начальными данными для параболического уравнения (уравнения диффузии) могут быть столь же успешно решены МГЭ].

На рис. 14.13 показано решение задачи обтекания вязкой жидкостью колеблющегося крыла Жуковского относительной толщины 12% в случае большой амплитуды и высокой частоты, а именно для следующей зависимости мгновенного угла атаки а от времени:

Другие примеры гибридных решений, полученных комбинированием метода конечных разностей и МГЭ, можно найти в работах [15—24], а комбинированием метода конечных элементов и МГЭ - в работах [1—13].