3.4.1. Дискретизация поверхностных и объемных интегралов

Если бы мы могли проинтегрировать уравнения (3.9) и (3.12) в явном виде и разрешить их относительно то наше решение было бы точным; на самом деле, однако, в практических задачах это оказывается невозможным и приходится пользоваться приближенными методами.

Таким образом, неточности, возникающие в процессе применения МГЭ, обусловлены исключительно процедурами численной дискретизации и интегрирования, и поэтому совершенствование методов аппроксимации теоретически позволяет достигнуть любой степени точности. На практике же, однако, должен быть достигнут некий компромисс между затратами времени и сил на вычисление и точностью решения. Приведенный ниже алгоритм является, вероятно, простейшим из всех, обеспечивающих получение важных практических результатов. С его помощью были получены точные решения ряда теоретических тестовых задач; кроме того, он был использован для решения весьма сложных задач подземной гидромеханики (§ 3.9).

В данном методе дискретизации используются линейные граничные элементы, характеризуемые координатами их средних

точек, вдоль каждого из которых, скажем элемента, интенсивность фиктивных источников постоянна. Для простоты мы будем считать источники также распределенными равномерно по треугольным ячейкам (некоторого подходящего размера) и обозначим их интенсивность в ячейке с номером I через Если мы аппроксимируем граничными отрезками и треугольными внутренними ячейками, как показано на рис. 3.3, то сможем Записать дискретные аналоги выражений (3.9) и (3.12) для потенциала и нормальной составляющей скорости на граничном элементе — в виде

где координаты средней точки граничного элемента, — длина граничного элемента и площадь 1-й внутренней ячейки.

Рис. 3.3.