11.8. Примеры

Все приведенные ниже примеры относятся к пластинам без упругого основания.

(а) Однородно нагруженная квадратная пластина с центральным квадратным отверстием. Тоттенхем решал эту задачу при помощи прямого и непрямого МГЭ. Внешние края пластины свободно оперты, а внутренние края свободны. В решении при помощи НМГЭ угловые силы не учитывались и фиктивные моменты в углах были приложены к одной четверти симметричной системы (рис. 11.5) с узлами в четырех точках с каждой стороны. При прямом методе решения на границе, внешней к было принято, что параметры линейно менялись в пределах элемента. Общее число узлов составляло 64, в 56 из которых имелись по две узловые неизвестные, а в восьми угловых узлах — по три. Вследствие симметрии окончательное число неизвестных было уменьшено до 20.

В табл. 11.1 сравниваются значения смещения в типичных точках, вычисленные методом граничных элементов, методом конечных элементов и конечно-разностным методом, причем в последних двух методах размер ячейки составлял В работе [1] рриведены и другие примеры, в одном из которых уравнения МГЭ рыли симметризованы с помощью метода наименьших квадратов.

(б) Решение непрямым методом задачи о защемленной пластине. Алтиеро и Сикарски [3] привели решение задачи о защемленной по щонтуру пластине. Рассматривались прямоугольная пластина с

Рис. 11.5. Однородно нагруженная квадратная пластина с квадратным отверстием в центре.

Таблица 11.1 (см. скан)

отношением сторон 2 : 1, а также квадратная, треугольная и полукруглая пластины. Применялась форма НМГЭ, в которой для получения ядер различных интегралов использовалось решение задачи о защемленной круговой пластине с единичной нагрузкой. Эта форма единичного решения является интересной иллюстрацией альтернативного представления, значительно более громоздкого, чем использованное выше. В табл. 11.2 сравниваются значения различных моментов и смещений, вычисленные при помощи НМГЭ и аналитически.

Таблица 11.2 (см. скан) Сравнение внутренних прогибов и изгибающих моментов в некоторых точках с точным решением

(в) Решение задачи о защемленной круговой пластине с центральной нагрузкой, использующее НМГЭ и дополнительную границу. Нива, Кобаяси и Фукуи [2] при решении этой задачи использовали представление НМГЭ с вспомогательной границей, расположенной

снаружи на расстоянии от края круговой пластины радиусом а. Используется N прямолинейных граничных элементов, расположенных по периферии пластины, с однородным распределением источников (как простых поперечных сил, так и моментов более высокого порядка) на каждом из элементов. В табл. 11.3 вычисленные значения смещений и компонент радиального и тангенциального моментов в некотором интервале изменения величин сравниваются с аналитическим решением. В работе [2] аналогичное сравнение проводится и для свободно опертых и однородно

Таблица 11.3 (см. скан) Прогибы и радиальные и тангенциальные моменты в задаче о круговой защемленной пластине, в центре которой приложена сосредоточенная нагрузка, вычисленные методом граничных элементов и сопоставленные с точным решением

(см. скан)

нагруженных круговой и прямоугольной пластин. Максимальная погрешность всегда приходится на окружные компоненты момента и в этих примерах, по-видимому, зависит от а не от

Недавно появились две работы [14, 15], описывающие применение ПМГЭ к задачам изгиба пластин, в которых рассматриваются свободно опертые пластины. В первой из них во всех деталях выписаны уравнения, необходимые для вычисления элементов матриц, входящих в уравнения, аналогичные уравнению (11.28). Наконец, в работе [16] представления ПМГЭ для задач упругого изгиба тонких пластин были распространены на случай нелинейного изгиба.