11.3. Сингулярные решения
В нашем случае фундаментальное решение соответствует смещению 
некоторой точки х безграничной пластины, вызванному действием единичной нагрузки, приложенной в точке 
(рис. 11.1,а):
где 
а определяет местоположение окружности произвольного радиуса, на которой смещения обращаются в нуль (иначе говоря, смещения отсчитываются от уровня смещений при 
и поэтому следует вводить вспомогательные члены при выводе соотношений НМГЭ для исключения «реакций» на бесконечности подобно тому, как это было сделано в гл. 4). Вводя 
и дифференцируя (11.7), в соответствии с (11.1) получаем углы наклона, моменты и перерезывающие силы, соответствующие (11.7), скажем
откуда
Учитывая равенство 
неравенство (11.3), имеем
Наконец, из равенства 
следует, что
где, вообще говоря, 
определяет любую кривую, проходящую через точку х.
Рис. 11.3.
Нам также потребуется решение, соответствующее действующему в точке 
моменту, который удобнее всего ввести при помощи двух «равных и противоположно направленных сил», т.е. пары сил 
приложенных в точках и 
(см. рис. 11.3, где 
единичный вектор в направлении 
).
Приложенные силы определяют пару 
величины
и, используя верхний индекс 
для обозначения смещений, углов наклона и т. д., обусловленных моментом «первого порядка» 
получаем
т. е.
Если, в частности, 
сосредоточенный мохмент, 
направлен по нормали к 5, то решение для сосредоточенного «нормального» граничного момента имеет вид
и для направления 
в точке х имеем
Выполняя соответствующее дифференцирование, из (11.106) и 
можно получить полный набор функций 
[все в точках 
соответствующих набору 
Тоттенхем [1] указывает, что при помощи перехода от (11.9) к (11.106) можно получить иерархию решений для сосредоточенных моментов «высших порядков». Например, рассматривая две «равные и противоположно направленные» пары 
вместо сил 
на рис. 11.3 и определяя момент «второго порядка» 
как
получаем 
т. е.
и если 
снова нормален 
то для 
и
и т. п., и аналогично для моментов более высокого порядка, порождающих 
и т. д. Тоттенхем [1] решал задачи об изгибе пластин, используя различные комбинации моментов высших порядков (так же как и Нива, Кобаяси и Фукуи [2]), в зависимости от способа задания граничных условий. Преимущества и ограничения, связанные с использованием моментов высоких порядков, по-видимому, не исследовались систематически несмотря на то, что такие моменты могут найти важные приложения, выходящие далеко за рамки теории изгиба пластин.
