8.8. Криволинейные граничные элементы

Большая часть приведенных выше сведений о базисных функциях была заимствована из литературы по методу конечных элементов [1], в которой основное внимание уделяется схемам внутренней (ячейки), а не поверхностной дискретизации.

Рис. 8.15. Криволинейные граничные элементы.

Мы уже обсуждали, к чему приводят криволинейные границы в двумерных задачах (разд. 8.7.1), и теперь нам остается рассмотреть присущие трехмерным ситуациям неплоские поверхностные граничные элементы, подобные изображенным на рис. 8.15.

Базисные функции для неплоского криволинейного (второго порядка) треугольника на рис. 8.15, а могут быть построены путем «стягивания» тетраэдра второго порядка (рис. 8.12, а), как это объяснялось выше, а именно узлы 3, 10 и 4 объединяются в один (т. е. имеют одинаковые координаты), скажем узел с номером 3, Тогда базисная функция для этого узла будет суммой при Вспоминая, что но и используя из соотношений (8.50), мы получим, что при

Базисные функции остаются неизменными, но

Если мы вычислим все и заметим, что на криволинейном поверхностном элементе , где то обнаружим, что нужные нам базисные функции (рис. 8.15, а) оказываются идентичными базисным функциям для Двумерного (плоского) треугольника второго порядка Очевидно, этого и следовало ожидать, и при обращении с подобными криволинейными поверхностными элементами необходимо помнить лишь о том, что (1) суммирование проводится для

(т. е. M. оказывает влияние на все три координатные компоненты); (2) якобиан преобразования должен быть таким, как указывалось в § 8.3 (см. соотношение (8.15)).

Совершенно аналогичным образом, очевидно, могут быть рассмотрены криволинейные четырехугольные элементы. Соответствующие им базисные функции поэтому можно найти в разд. 8.7.2 и 8.7.3.