5.5. Осесимметричное течение

5.5.1. Общие сведения

Многие задачи об осесимметричных потенциальных течениях удобнее формулировать в цилиндрической системе координат как показано на рис. 5.5. Хотя они и могут быть решены с помощью описанных в предыдущих параграфах алгоритмов, использование цилиндрических координат, как правило, оказывается более эффективным, так как соответствующий алгоритм при этом сразу же становится двумерным.

Рис. 5.5.

Подобные задачи об осесимметричных потенциальных течениях рассматривались Джесуоном и Симмом [4], а также Ленноном, Лью и Лиггеттом [51 в работах, посвященных проблемам электростатики и течения грунтовых вод соответственно. Приведенный ниже алгоритм решения осесимметричных задач основывается на этих работах.

5.5.2. Осесимметричные сингулярные решения

Фундаментальное сингулярное решение, обусловленное действием в точке осесимметричного источника интенсивности можно записать в виде (рис. 5.6)

где функция находится путем перехода в выражении (5.2) к координатам и интегрирования результата по от до что дает

где Интеграл в уравнении (5.18) не может быть вычислен точно, так как относится к классу эллиптических интегралов, а именно

где полный эллиптический интеграл первого рода с модулем и дополнительным модулем Таким образом,

Рис. 5.6.

Иметь дело с полным интегралом (5.20) весьма неудоб но, поэтому обычно пользуются его подходящими конечно-полиномиальными аппроксимац иями (см. Хастингс [6] и Харт с соавторами [7]). Джесуон и Симм [4] рассмотрели ряд возможны х аппроксимаций для разли чных значений модуля Типи чное представление для может быть записано в виде

где при остаточный член константы.

Из выражения (5.21) видно, что особенность при аналогична получающейся в двумерной задаче (т. е. является слабой логарифмической).

Нормальная «скорость» в направлении в точке может быть получена из выражгния (5.19):

где компоненты вектора в направлении осей соответственно.

Используя токцесгзэ где -полный эллиптический интеграл второго рода, мы можем представить в виде [8]

причем здесь можно заменить аппроксимирующим полиномом

где и при остаточный член константы.

5.5.3. Непрямой и прямой варианты метода

Потенциал в точке обусловленный действием распределенного по поверхности источника интенсивности может быть найден (при пренебрежении для простоты наличием каких бы то ни было внутренних источников) путем преобразования интеграла, отвечающего трехмерной задаче, к виду, учитывающему осесимметричность последней:

тогда нормальная скорость дается выражением

Если теперь мы совместим точку с точкой на поверхности, то, как и ранее, получим два основных интегральных уравнения для решения граничной задачи:

Дискретизация границы в случае осесимметричной задачи фактически осуществляется точно так же, как и в двумерном случае. Заменим, например, границу ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков, а распределение вдоль каждого отрезка будем считать линейным (рис. 5.7), т. е.

где Тогда поверхностные интегралы обычным образом перейдут в конечные суммы.

Рис. 5.7.

Однако из-за сложной формы ядер их произведения на базисные функции каждый раз необходимо интегрировать численно, используя квадратурные формулы. Во всех случаях это может быть выполнено с помощью обычной квадратурной формулы; исключение составляют интегралы, дающие вклад в элементы главной диагонали матриц окончательной системы уравнений. Интегралы, содержащие функции имеют логарифмическую особенность и могут быть вычислены точно по специальной гауссовской квадратурной формуле, описанной в приложении интегралы же, содержащие функцию должны вычисляться аналитически. Мы можем сделать это рассмотренным в разд. 5.4.4 методом (т. е. выделяя сингулярную часть интеграла вместе с дополнительным разрывным слагаемым). Функция в этом частном случае может быть приведена к более простому виду.

Граничное интегральное уравнение, отвечающее прямому методу, можно записать в виде

где внутренняя точка области.

Для точки на границе мы имеем

В случае корректно поставленной задачи это уравнение после выполненной описанным выше образом дискретизации и вычисления различных интегралов может быть использовано для получения численного решения.