13.2. Основные уравнения и их интегральная форма

Вывод основных уравнений механики жидкости с исчерпывающей ясностью и мастерством изложен в ряде прекрасных книг и монографий [3-6], знакомство с одной (или несколькими) из которых будет предполагаться в данном разделе. Ниже мы просто выпишем основные дифференциальные уравнения для каждого рассматриваемого класса задач и обсудим интегральные соотношения, которые можно получить из них.

13.2.1. Уравнения Навье — Стокса движения вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкостей

В эйлеровой ортогональной декартовой системе координат основные уравнения, определяющие движение сжимаемой жидкости, имеют вид

где плотность, время, скорость в направлении давление, коэффициент вязкости, к — коэффициен. второй вязкости для одноатомного газа), плотность объемных сил.

Если мы сравним уравнение (13.1) в случае стационарного течения (т. е. при с соответствующим уравнением механики деформируемого твердого тела (уравнением (4.4)), то увидим, что основное различие между ними связано с наличием конвективного члена Предполагая, что этот член может быть представлен фиктивной плотностью массовых сил можно получить интегральную форму (13.1).

В случае несжимаемой жидкости (13.1) упрощается:

так что при стационарном медленном движении жидкости левая часть уравнения (13.2) стремится к нулю и оно становится идентичным уравнению, описывающему поле смещений в несжимаемом деформируемом твердом теле. Поэтому различные решения задач механики деформируемого твердого тела, полученные в предыдущих главах, непосредственно переносятся на рассматриваемую ситуацию.

Введя понятие завихренности, можно привести уравнение (13.2) к более удобной форме, позволяющей построить для него весьма полезные соотношения МГЭ. Для того чтобы проще и удобнее всего продемонстрировать это, следует переписать (13.2) в векторных обозначениях:

13.2.2. Уравнения движения в терминах завихренности

Завихренность определяется как

Применяя оператор к обеим частям уравнения (13.3), а также используя соотношение (13.4) и уравнение неразрывности

мы можем получить уравнение переноса завихренности

где коэффициент кинематической вязкости.

Таким образом, система уравнений относительно переменных эквивалентна системе (13.3) и (13.5) относительно

Вычисляя ротор от обеих частей уравнения (13.4) и используя (13.5), мы получим векторную форму уравнения Пуассона относительно

Из уравнений (13.6) и (13.7) уже можно получить соотношения МГЭ для решения любых нестационарных задач течения вязкой несжимаемости жидкости. Так и было сделано с соавторами [7—14]; соответствующий вывод приводится ниже.

В силу соленоидальности вектора скорости можно определить векторный потенциал (см. гл. 10) следующим образом:

Подставляя (13.8) в (13.4), получаем

Если теперь две однозначные векторные функции, имеющие непрерывные вторые производные, то, согласно векторной форме теоремы Грина ([1,7], см. также приложение Б), имеет место тождество

где вектор единичной нормали к

Далее в качестве вектора В мы можем взять векторный потенциал удовлетворяющий уравнению (13.9), а в качестве А — фундаментальное решение векторного уравнения

в трехмерном случае, так что

где единичный вектор и

Подставляя в вместо В и фундаментальное решение (13.11) вместо А и используя уравнения (13.8) и (13.9), приходим к соотношению

где

которое можно переписать в виде

Поверхностный интеграл в уравнении (13.15) является несобственным, так как компоненты неограниченно возрастают, когда (т. е. когда точка наблюдения приближается к точке приложения нагрузки).

Рассматривая малую окрестность особой точки, устремляя ее размер к нулю и исключая из (13.15) произвольный единичный вектор, получаем

где

Уравнение (13.16) справедливо также и в двумерном случае; при этом вместо (13.14) должно использоваться фундаментальное решение

где снова

Уравнение (13.16) можно переписать также в виде, учитывающем скорость набегающего лотока

где скорость набегающего потока (рис. 13.1) и для трехмерных задач а для двумерных

Уравнение (13.18) уже имеет нужную форму и может быть использовано для решения корректно поставленных граничных задач.

Кроме того, можно заметить, что на самом деле условие не является необходимым для вывода уравнения (13.15); действительно, если бы вместо него мы имели то в итоге получили бы [12]

Рис. 13.1. Типичная задача обтекания.

Важно отметить также, что при вычислении объемного интеграла радиус-вектор пробегает точки пространства, а при вычислении поверхностного интеграла — точки поверхности.

Относительно уравнения переноса завихренности заметим, что в гл. 9 мы уже имели дело с уравнением вида (см. (9.1))

и соответствующим ему уравнением ПМГЭ (9.11), т. е.

Функции определены формулами (9.7) и (9.8), соответствует значениям функции в области V в момент времени а символ между величинами означает свертку (см. (9.10)).

Замечая сходство уравнений (13.6) и (13.20), а затем используя (13.21), мы можем получить интегральную форму уравнения переноса завихренности.

С учетом условия прилипания на невращающейся поверхности искомые интегральные представления в случае двумерного течения упрощаются и принимают вид [13]

и (для переноса завихренности)

Уравнение (13.22) представляет собой не что иное, как закон Био-Савара [15—17] для вихревых линий. Объемный интеграл в (13.23) показывает, что распределение завихренности изменяется в результате конвективного переноса, который непрерывно оказывает обратное воздействие на последующее распределение завихренности в жидкости. Поверхностный интеграл в (13.23) отражает непрерывное возникновение (или исчезновение) завихренности на твердой границе 5. Поскольку скорость на 5 равна нулю (условие прилипания), возникающие вихри могут покидать границу 5 лишь посредством диффузии.

Численное решение [13] системы уравнений (13.22) и (13.23), очевидно, может быть получено при помощи пошаговой (относительно времени) схемы, для которой дискретизация выполняется так же, как это описано в предыдущих главах. При этом значения скорости и завихренности, известные в момент времени принимаемый за начальный временной слой для уравнения (13.23), используются для вычисления нового набора значений завихренности в момент времени Эти значения в вихревых объемных ячейках затем используются для вычисления при помощи уравнения (13.22) скорости в произвольных точках области. Далее численное решение задачи продолжается таким же образом, т. е. повторением подобных циклов, моделирующих физические процессы диффузии, конвекции и образования вихрей. Этот алгоритм, разработанный позволяет рассчитывать нестационарные решения наряду со стационарными или периодическими (вихревые дорожки) решениями на более поздних стадиях.

Необходимо отметить, что вихревые ячейки внутри объема следует вводить лишь в характерных областях, где завихренность отлична от нуля. Для задачи, представленной на рис. 13.1, вихревые ячейки необходимо ввести лишь в непосредственной близости от поверхности Поэтому такой алгоритм является, вероятно, более эффективным, чем те, которые строятся с использованием методов конечных элементов или конечных разностей.

13.2.3. Функция тока и потенциал скорости

Двумерное течение может быть описано при помощи функции тока Физический смысл функции тока состоит в том, что она постоянна вдоль линий тока и расход между двумя любыми линиями тока пропорционален разности соответствующих значений

Для двумерного течения несжимаемой жидкости функция тока вводится соотношениями

где скорости в направлениях осей соответственно.

В случае двумерного течения сжимаемой жидкости [6]

где произвольная «отсчетная» плотность и текущая плотность жидкости соответственно.

Потенциал скорости можно ввести в том случае, когда поле скоростей является безвихревым следовательно, в ортогональной декартовой системе координат вдоль каждой из осей мы будем иметь

13.2.4. Уравнения движения в терминах функции тока при малых числах Рейнольдса

При малых числах Рейнольдса конвективные члены в уравнениях (13.1), (13.2) и т. д. становятся пренебрежимо малыми, а сами основные уравнения становятся линейными. Таким образом, в случае двумерного стационарного течения функция тока удовлетворяет уравнению

В более общем случае, а именно при промежуточных значениях числа Рейнольдса, основное уравнение стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости можно записать в виде [18]

Ясно, что уравнение (13.28) является нелинейным, так как его правая часть зависит одновременно от двух функций ни одна из которых заранее не известна.

Совершенно очевидно (см. гл. 11), что при помощи известного тождества Релея-Грина [1] для двух бигармонических функций определенных внутри области V, ограниченной поверхностью с внешней нормалью

можно построить интегральное соотношение, отвечающее уравнению (13.28).

Действительно, если выбрать в качестве решение бигармонического уравнения

и подставить это фундаментальное решение в уравнение (13.28а)

вместо функции х (см. гл. 11), то получится интегральное уравнение

где

Интегрирование в (13.29) выполняется по переменной х, определяющей направление внешней нормали. В линейном случае, который соответствует уравнению (13.27), объемный интеграл в (13.29) обращается в нуль и при решении задачи требуется лишь провести дискретизацию границы. Однако при решении задач для уравнения (13.28) необходимо вводить объемные ячейки подобно тому, как это делалось в гл. 12.

13.2.5. Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости

В случае стационарного безвихревого течения идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости основные уравнения можно записать через потенциал скорости

Задачи, в которых получается это уравнение, обсуждались на протяжении гл. 3 и 5, где это уравнение использовалось в качестве основной модели для первоначального знакомства с МГЭ.

Мы можем, однако, рассмотреть здесь еще один класс родственных задач, связанный с волнами на воде [19]. Двумерное движение воды в канале переменной глубины может быть описано уравнениями

справедливыми в области, занятой жидкостью.

Рис. 13.2. Типичная задача о волнах на воде

Если поверхность воды параметрически задана длиной дуги отсчитываемой против часовой стрелки из правого верхнего угла рис. 13.2, то координаты точек поверхности удовлетворяют уравнениям

где время и

Эти уравнения означают просто, что точка х все время остается на свободной поверхности. При постоянном атмосферном давлении уравнение Бернулли принимает вид

где ускорение силы тяжести, а функция не зависит от пространственных переменных и обычно принимается постоянной.

Задача состоит в решении уравнения (13.31) с граничными условиями (13.32) и (13.34) и заданной начальной геометрией границы. Так как интерес представляет лишь форма границы в различные моменты времени, имеются все основания обратиться к МГЭ; соответствующий алгоритм разработал Мардер [19], описавший решения ряда задач, в том числе задачи о распространении поверхностных возмущений, а также о течении над препятствиями, вызванном импульсивным воздействием.

Вообще говоря, МГЭ представляет собой высокоэффективную технику численного решения широкого класса задач с движущимися границами; это его достоинство уже использовалось рядом специалистов [20—25].

13.2.6. Безвихревое течение идеальной сжимаемой жидкости

Безвихревое стационарное течение идеальной сжимаемой жидкости можно описать [26—28] уравнением

где отвечает тангенциальному направлению по отношению к линии тока, — скорость, локальное число Маха.

Очевидно, уравнение (13.35) можно использовать для получения соответствующих соотношений МГЭ точно так же, как это описано

в гл. 3 и 12, а следовательно, и разработки алгоритма численного решения, включая схемы дискретизации границы и выделения объемных ячеек [26—30] в областях с ненулевыми значениями

13.2.7. Нестационарные и стационарные волновые уравнения движения жидкостей

Эти уравнения очень похожи на уравнения распространения продольных и поперечных волн в упругих телах, соотношения МГЭ для которых были выведены и описаны в гл. 10