4.5. Прямой метод граничных элементов
4.5.1. Основные соотношения для однородной изотропной области
Соотношения прямого МГЭ наиболее удобно выводить, используя теорему взаимности [10—12]. Эта теорема формулируется следующим образом: если в области V, ограниченной поверхностью 
заданы два различных состояния упругого равновесия 
то работа, совершенная силами первого
состояния на смещениях второго, равна работе, совершенной силами второго состояния на смещениях первого. Поэтому
где 
точка на поверхности 
точка внутренней области 
Ясно, что уравнение (4.35) представляет собой простое обобщение уравнения (2.31), относящегося к случаю простой упругой балки. Если в качестве одного состояния выбрать фактическое распределение смещений, усилий и объемных сил 
соответственно, а в качестве другого состояния 
упругое поле, создаваемое сосредоточенной силой в безграничной упругой среде, то, как описано в § 4.3, из уравнения (4.35) можно получить
Записывая это уравнение, мы использовали (4.10) и т. д., равенство 
и следующее преобразование сосредоточенной силы 
во втором интеграле левой части этого уравнения:
Множитель 
является общим для всех интегралов и выносится за знак интеграла, что позволяет записать (4.36). Этот же интеграл можно упростить далее, заметив, что
где 
внутри 
вне 5. Следовательно, из (4.36) получаем
Уравнение (4.37) позволяет получить смещения и в любой внутренней точке 
при любой допустимой комбинации 
на 5 и данном распределении 
в объеме — это уравнение фактически представляет собой известное тождество Сомильяны для вектора смещений 
Функции 
определяются уравнениями (4.7) и (4.10), но их использование в теореме взаимности приводит к трем довольно тонким изменениям в трактовке смысла 
Тщательное сравнение, скажем, (4.11) и (4.37) показывает, что для (4.37) характерны в обобщенном виде те же свойства, которые обсуждались в связи с (3.29), а именно следующие:
1) первый аргумент 
функции ядра оказывается теперь точкой приложения нагрузки (не которая теперь представляет координату точки поля), и интегрирование выполняется по 
2) суммирование выполняется по 
а не по 
(т. е. роли 
меняются);
3) вектор нормали 
теперь проводится в точке приложения нагрузки х.
На симметричные по 
функции, такие, как 
[см. (4.7)], эти изменения не оказывают влияния, и все предыдущие результаты интегрирования остаются справедливыми. Однако для антисимметричных по 
функций, таких, как 
[см. (4.10)], эти изменения после интегрирования приводят к совершенно другим результатам.
Устремляя точку поля (теперь 
к точке 
на поверхности области, получаем следующие результаты (в случае 
где 
для внутренней задачи, в которой V ограничено гладкой границей 5. Если же точка поля 
является вершиной угла 
то разрывный член 
дается выражением [9, 13]
Следовательно, для точки 
лежащей на гладкой поверхности, уравнение (4.37) можно представить в виде
Уравнение (4.38) и является требуемым интегральным уравнением для решения любой корректно поставленной краевой задачи. Уравнение (4.37) вместе с соотношениями между перемещениями и деформациями можно использовать для того, чтобы получить выражения для деформаций
где
а вместе с соотношениями между напряжениями и деформациями — чтобы получить выражения для напряжений
где
После упрощения формулы (4.40) принимают вид
где 
