6.5. Начальные напряжения и начальные деформации

Начальные напряжения и начальные деформации появляются в теле благодаря целому ряду эффектов. Например, давление жидкости в пористом упругом теле может рассматриваться как начальное напряжение, а недостатки подгонки изделий, температурные деформации, ползучесть и т. д. — как источники начальных деформаций. Понятие начального напряжения (Eigenspannungen) было впервые введено Рейснером 1251.

Если начальные деформации или начальные напряжения известны, то истинные напряжения можно представить в виде

Уравнения (6.32) очень похожи на уравнения (6.14), и поэтому для получения представлений ПМГЭ и НМГЭ можно применять развитую в разд. 6.4.1 технику [см. (6.14) — (6.19)]. Однако поучительно познакомиться с альтернативным подходом [26, 27], использующим принцип виртуальной работы.

Известно [21], что поле смещений соответствующее произвольной задаче, можно представить в виде

где решение однородных дифференциальных уравнений (без объемных или начальных градиентов напряжений и т.д.), удовлетворяющее граничным условиям, а частное решение неоднородных дифференциальных уравнений (т. е. уравнений с объемными силами и градиентами начальных напряжений).

По аналогии со стандартным методом решения неоднородных дифференциальных уравнений можно рассматривать как дополнительную функцию, а как частный интеграл; следовательно,

Чтобы получить частный интеграл, рассмотрим уравнение для виртуальной работы

где соответствуют виртуальному состоянию, не связанному с истинным состоянием

Если в качестве системы, отмеченной звездочкой, выбрать состояние, вызываемое сосредоточенной силой, приложенной в некоторой точке безграничной упругой среды, а в качестве

истинные смещения и начальные деформации, то (6.35) приводит к

где тензор соответствует напряжениям обусловленным единичной сосредоточенной силой [уравнение (6.5)]. Соотношение (6.36) фактически представляет собой обобщенный вариант известного выражения Майзеля [28, 29] для смещений, вызываемых установившимся температурным полем, в котором начальная деформация равна просто где а — коэффициент теплового расширения (заметим, что условия плоского напряженного состояния сводятся к использованию модифицированного а) и температурное поле. Читатель может проверить, что в задаче о температурных деформациях правые части (6.20) и (6.36) тождественны. Используя соотношения

можно переписать (6.36) в эквивалентном виде

где тензор соответствует деформациям обусловленным единичной сосредоточенной силой [уравнение

Соотношения (6.36) и (6.37) дают частные интегралы, которые требуются в задачах с начальными деформациями или начальными напряжениями соответственно. Поэтому в случае известных начальных напряжений смещения в любой внутренней точке вычисляются по формуле

Граничные уравнения могут быть получены из (6.38) обычным способом.

Соответствующее непрямое представление для смещений имеет вид

а истинные напряжения равны

где

Причина вынесения производной за знак интеграла становится ясной, если посмотреть на функцию из (6.39). Порядок особенностей в функции равен для двумерных задач и для трехмерных, поэтому объемный интеграл существует в обычном смысле. Однако если дифференцировать под знаком интеграла (что допускается, так как интегрирование проводится по то возникающие при совпадении особенности будут порядка и трехмерном случаях соответственно и при этом объемный интеграл в формуле (6.40) теряет смысл. Поэтому, как показано в гл. 3, необходимо аналитически интегрировать (6.41) при и затем вычислять производные. Это не является характерной особенностью непрямого представления, так как при вычислении внутренних напряжений, основанном на (6.40), возникали бы такие же трудности. Их можно преодолеть при помощи вычисления вкладов в поле смещений, даваемых объемными интегралами (6.39) и (6.40), и использования конечно-разностной аппроксимации уравнения (6.41) вблизи особенности.

Поверхностные усилия на проходящей через точку х поверхности с внешней нормалью вычисляются с учетом (6.40) по формуле

где

Уравнения (6.39) и (6.42) снова можно записать для точки границы о и использовать при решении граничной задачи.