10.4. Применение к динамическим задачам теории упругости

10.4.1. Основные уравнения

Динамическое поле малых смещений и в изотропном однородном упругом теле определяется уравнениями Навье

где упругие постоянные, плотность деформируемого тела, объемная сила, действующая на единицу массы, и ускорение.

В области V, ограниченной поверхностью задаются, начальные условия при

и граничные условия на которые в общем случае имеют вид

где Напряжения определяются соотношениями

где так что Постоянные представляют собой скорости продольных и поперечных волн соответственно; их называют также дилатационной и сдвиговой скоростями (или просто скоростями -волн и -волн).

(кликните для просмотра скана)

10.4.2. Сингулярное решение Стокса

Фундаментальное решение динамической задачи было впервые получено Стоксом в 1849 г., хотя некоторые свойства решения были рассмотрены Пуассоном еще в 1829 г.; подробности см. в работах [1, 3 и 48].

Для того чтобы наиболее просто продемонстрировать различные свойства этого решения, удобно переписать (10.34) в векторных обозначениях:

Используя теорему Стокса — Гельмгольца [1], которая утверждает, что достаточно гладкое векторное поле может быть разложено на безвихревую и соленоидальную части, можно представить в виде

Аналогично для вектора смещений имеем

где скалярные, векторные функции координат и времени.

Используя (10.39) и (10.40) и полагая перепишем (10.38) в виде

Это уравнение удовлетворяется тождественно, если в качестве мы возьмем решения неоднородных волновых уравнений

Теперь можно решить (10.42a, б) и, используя (10.40), получить полное поле смещений

где решение уравнения (10.42а), а решение уравнения (10.42б). Ясно, что первой части соответствует нулевой вихрь, тогда как для второй части обращается в нуль дивергенция, т. е.

Решение, которое нам требуется, т. е. сингулярное фундаментальное решение динамических уравнений теории упругости, представляет собой решение для безграничной среды, в точке которой приложена объемная сила с постоянным направлением но с зависящей от времени величиной Таким образом, нам требуется решение динамических уравнений для объемной силы вида

Смещение в точке в момент времени вызываемое силой величины приложенной в точке в направлении дается выражением [3]

где причем

Компоненты и соответственно образуют части тензора Стокса описывающие безвихревое движение и движение с сохранением объема. Функция обращается в нуль при отрицательном значении аргумента; это отражает тот факт, что продольная и поперечная части волны, вызываемой действующей в точке силой должны достигать точки через время соответственно. Напряжения в точке в момент времени имеют вид [3]

где обозначает причем

Усилия в точке в момент времени могут быть получены из соотношения

где

Уравнения верны также для импульсной силы действующей в момент т. е. для

Поэтому решение для единичного импульса, приложенного в точке в момент получается заменой на на Для этого случая смещения, например, даются выражением

а усилия находятся из соотношения

Используя (10.48), можно получить функции в более удобной форме (подробности см. у Эрингена и Сухуби [3]). Можно также вывестиэквивалентное двумерное решение. К сожалению, это не приводит к значительному упрощению, и поэтому двумерные нестационарные динамические задачи теории упругости можно с тем же успехом рассматривать как частный класс трехмерных задач.

10.4.3. Динамическая теорема взаимности

Так же как и в статическом случае, который обсуждался в гл. 4 и 6, из динамической теоремы взаимности могут быть получены динамические интегральные уравнения теории упругости. Динамическая теорема взаимности [3, 48—51] фактически является непосредственным обобщением классической теоремы Бетти в статической теории упругости и может быть сформулирована следующим образом.

Если существуют два независимых динамических состояния упругой среды, соответствующие определенным объемным силам, граничным усилиям, граничным смещениям, начальным смещениям и начальным скоростям, например

и, и определенные в одной области V, ограниченной поверхностью то для любого

где (см. гл. 9)

10.4.4. Прямой и непрямой методы

В качестве первого динамического состояния можно взять состояние, соответствующее физической задаче, а в качестве второго — состояние, обусловленное единичной сосредоточенной силой в безграничной среде. Предполагая без потери общности, что начальные смещения и и скорости V равны нулю, можно подставить в (10.51) компоненты фундаментального решения (10.49) и (10.50) и получить для внутренней точки

Можно теперь использовать это прямое интегральное тождество, чтобы получить необходимое уравнение для точки на границе, что в свою очередь, как и прежде, приводит к алгоритму решения полной задачи с заданными граничными и начальными условиями. Для произвольной точки на границе имеем

причем член представляет собой главное значение, получающееся при рассмотрении несобственного поверхностного интеграла, включающего Если в точке граница гладкая (т. е. имеет единственную касательную плоскость), то

Используя технику гл. 3, в которой продемонстрирована формальная эквивалентность прямого и непрямого методов, легко показать, что в непрямом методе во внутренней точке оказывается равным

здесь индексы и аргументы могут быть переставлены, так как симметрична и по индексам, и по аргументам. Соответствующие им усилия на поверхности с нормалью проходящей через внутреннюю точку х, имеют вид

Уравнения (10.54) и (10.55) можно теперь обычным образом использовать для получения дискретных уравнений непрямого метода граничных элементов.

Хотя описанный выше метод интегральных представлений дает изящный подход к решению любой нестационарной динамической задачи, вычислительные усилия, необходимые для полного решения такой задачи с граничными и начальными условиями, весьма значительны, несмотря на то что методы дискретизации по пространству и времени довольно похожи на методы, описанные в гл. 9 для задач о нестационарном потенциальном течении жидкости.

Часто удается сократить вычисления, учитывая некоторые особенности распространения возмущений. Возмущения из некоторой точки распространяются как две независимые сферические волны, движущиеся с постоянными скоростями Возмущение в любой точке вызванное волной, движущейся со скоростью в момент определяется источниками, которые возбудили волну в момент Аналогично для волны, движущейся со скоростью возмущение в момент определяется источниками, которые возбудили волну в момент В дальнейшем мы подробно исследуем эти особенности решения в связи с некоторыми частными классами задач о распространении волн.

Можно показать также [3, 52], что поверхностные интегралы в выведенных выше граничных интегральных уравнениях можно разделить на две части. Одна связана со скоростью (Р-волны), а другая — со скоростью (S-волны). В безграничной среде и -волны продолжают распространяться как и -волны, но на поверхности разрыва, например на поверхности раздела двух сред, Происходит превращение мод, т. е. -волны превращаются в -волны и наоборот. В некоторых практических приложениях можно использовать такое упрощенное разделение решений, но в общем случае разделение на и -волны не приносит пользы.

10.4.5. Стационарные задачи динамической теории упругости

Если выбрать момент наблюдения через достаточно длительное время после зарождения возмущения, то можно предположить, что физические величины гармонически меняются со временем с угловой частотой со (т. е. мы имеем дело с задачей об установившихся колебаниях). После этого анализ сильно упрощается, так как тем самым переменная времени исключается из дифференциальных уравнений и граничная задача с начальными условиями сводится просто к граничной задаче.

Поэтому предположим, что

Где комплексные амплитуды объемных сил, смещений и усилий соответственно.

Подставляя (10.56) в получаем

т. е. дифференциальное уравнение установившихся колебаний в теории упругости. Фундаментальное решение уравнения (10.57) для единичной сосредоточенной силы, меняющейся по гармоническому закону, т. е. решение уравнения

определяется выражением [3, 12, 52]

где функция Ганкеля первого рода нулевого порядка от аргумента

Уравнение (10.57), известное под названием уравнения Гельмгольца, можно использовать для вывода тождества взаимности в случае установившихся колебаний. Если два решения приведенных динамических уравнений, то

Выражая при помощи (10.58), сразу получаем следующую явную формулу для смещений во внутренней точке

где поверхностное усилие в точке х, обусловленное единичной сосредоточенной силой.

Характер сингулярностей при аналогичен уже обсуждавшемуся выше статическому случаю.

Уравнение (10.60) можно использовать как основу получения обычным образом алгоритмов прямого и непрямого МГЭ. В результате решается целый ряд статических задач для каждого значения частотного параметра

Решение уравнения (10.60) единственно для любой внутренней области V, ограниченной поверхностью при условии что не равно ни одному из собственных значений однородной части дифференциального уравнения (10.57) для граничных условий исходной задачи. Для внешней области, конечно, нет таких собственных значений, и поэтому можно было бы ожидать, что решение возможно при всех значениях , если выполняются условия излучения и регулярности на бесконечности. К сожалению, это не всегда имеет место, как указано в работах [5, 10, 22—24].

Выше мы сводили нестационарную задачу к задаче об установившихся колебаниях, рассматривая процесс в момент времени, достаточно удаленный от момента первоначального возбуждения. Можно применить обратную процедуру и получить решение нестационарной задачи из стационарных решений, используя метод суперпозиции, что возможно в силу линейности исходных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим интеграл

для всех возможных частот

Это выражение представляет собой решение динамического уравнения (10.38) для подобным же образом определенной граничной задачи в случае воздействия

Легко видеть, что является фурье-преобразованием объемной силы по времени, и, следовательно, есть решение уравнений, получившихся прямым фурье-преобразованием исходных динамических уравнений. Поэтому мы можем построить общее решение динамических уравнений при помощи решения известного для всего спектра частот.

К решению можно прийти и при помощи преобразования Лапласа полевых уравнений. Как и ранее, преобразование Лапласа функции определяется формулой

Можно преобразовать дифференциальные уравнения (10.34) к форме, подобной (10.57), где вместо со стоит а вместо объемной силы — выражение Тем самым задача сводится к решению статической задачи для каждого значения параметра преобразования Лапласа Основная трудность, конечно, состоит в том, чтобы эффективно выполнить обратное преобразование к пространству некоторым численным способом [64]. Важный вклад в эту область внесли работы [25, 26,53, 54].

10.4.6. Распространение волн

Введение. В очень многих задачах акустики, теории электромагнитного поля и гидродинамики дифференциальные уравнения, описывающие распространение волн, очень похожи на приведенные выше динамические уравнения теории упругости. Однако вследствие понижения порядка уравнений в этих задачах аналитические свойства ядра становятся менее сложными.

Рассмотрим распространение акустических волн малой амплитуды в невязком газе. Обозначая скорость частицы и отклонение давления от равновесного через соответственно и определяя потенциал так, что плотность газа в состоянии покоя), можно свести основные дифференциальные уравнения к уравнению

где некоторая постоянная.

В теории электромагнитного поля уравнения Максвелла для линейной однородной изотропной среды с электрической проводимостью и магнитной проницаемостью имеют вид

где векторы напряженности электрического и магнитного полей в момент времени

Вычисляя ротор от правой и левой части (10.65а) и используя (10.656), имеем

что при помощи тождества и (10.65в) можно привести к виду

аналогичному (10.64).

Дифференциальное уравнение, описывающее распространение волн малой амплитуды в идеальной жидкости, также подобно (10.64), и видно, что различия нрсят физический, а не математический характер. Поэтому ниже мы подробно опишем решение уравнения

и его аналога для установившихся колебаний. Соответствующий анализ скалярного волнового уравнения (10.64) не представляет трудности. Интересующиеся читатели могут обратиться к работам [3—5, 8, 13—19], где рассмотрено распространение волн в скалярном случае.

Нестационарное движение. Тождество взаимности, соответствующее уравнению (10.66), можно записать следующим образом 13]:

где

Уравнение (10.67), как и (10.51), является соотношением взаимности двух решений уравнения (10.66), т. е. для тела объема V, ограниченного поверхностью с внешней нормалью

Фундаментальное решение уравнения (10.66) для вектора обусловленного единичной импульсной силой представляется в виде

где

Аналогично имеем

где

Подставляя (10.68) и (10.69) в (10.67), получаем

Предполагая для удобства, что и замечая, что [3]

и

можно представить (10.70) в более удобной форме. Известно, что представляют собой значения этих функций В точке в запаздывающий момент времени Понятие запаздывающего времени связано с тем, что возникшее в точке в момент возмущение доходит до точки только к моменту

Используя приведенные выше уравнения, уравнение (10.70) при можно записать в виде

т. е. в виде известного интегрального уравнения Кирхгофа с запаздывающим временем для . К сожалению, для двумерных нестационарных задач уравнение (10.71) упростить нельзя; поэтому двумерные задачи можно рассматривать как частный класс общих трехмерных задач.

Уравнение (10.71) можно использовать для получения обычным способом соотношений прямого и непрямого МГЭ. Численному решению (10.71) уделяется значительное внимание в литературе, и читатель может ознакомиться с подробностями в прекрасных статьях [5, 13, 14, 17, 18].

Стационарное движение. Если предположить гармоническую зависимость от времени функций то уравнение (10.66), как и прежде, можно записать в виде

где длина волны.

Дифференциальное уравнение (10.72) представляет собой уравнение Гельмгольца, описывающее рассеяние гармонической волны. В задачах рассеяния полную волну и в каждой точке удобно разделять на две части: (1) известная падающая волна и и (2) волна рассеяния и, которую нужно определить, т. е.

Падающая волна определяется волновой функцией, которая имелась бы при отсутствии рассеивающей поверхности, а волна рассеяния представляет собой волну, расходящуюся от рассеивающей области. Очевидно, необходимо, чтобы удовлетворяла условиям излучения на бесконечности (это гарантирует отсутствие волн, идущих из бесконечности). Эти ограничения равным образом относятся к нестационарной задаче, обсуждавшейся в предыдущих разделах. Например, когда уравнение Кирхгофа с запаздывающим временем применяется во внешней задаче рассеяния, оно должно быть выражено через переменные волны рассеяния, которая обращается в нуль на больших расстояниях от области, вызывающей рассеяние. При этом условия излучения удовлетворяются полем рассеяния (т. е. полным полем за вычетом падающей волны). Поэтому граничные условия могут быть выражены через поле рассеяния, хотя существуют другие возможности, обсуждавшиеся в обзоре Шоу [5].

Фундаментальное решение уравнения (10.72) имеет вид

где функция Ганкеля первого рода нулевого порядка от аргумента и

Во внутренней точкё прямой метод дает

В произвольной точке границы (принимая для удобства имеем

где член появляется при рассмотрении несобственного интеграла, включающего

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений совпадающих с соответствующими «резонансными» волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений; трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов.