12.2. Определяющие соотношения для деформируемых твердых тел

Чтобы представить себе существенные стороны процесса решения, важно исследовать сначала поведение бесконечно малого элемента области. Оно описывается определяющими соотношениями рассматриваемого материала. Чтобы охватить широкий круг материалов, с которыми приходится иметь дело инженерам, было предложено много таких моделей, и детальное их обсуждение в этой книге было бы неуместно. Поэтому ниже мы кратко опишем только три хорошо проверенные теории, моделирующие основные нелинейные свойства определенных классов деформируемых твердых тел.

12.2.1. Инкрементальная теория пластичности

Необходимые составные части инкрементальной зависимости напряжения — деформации в рамках теории пластичности, предполагающей «независимость от траектории нагружения в малом» (инкрементальная теория пластичности), таковы:

1) функция текучести, определяющая пределы упругого поведения;

2) закон течения, связывающий необратимую пластическую часть скорости деформации с напряженным состоянием материала;

3) закон упрочнения, определяющий поверхности текучести, возникающие вследствие непрерывного пластического деформирования.

Вид поверхности текучести и параметров упрочнения, очевидно, зависит от типа материала. Поэтому нам надо вывести зависимости между напряжениями и деформациями для довольно общих случаев (а) изотропного и (б) кинематического упрочнения.

Рис. 12.1. Изотропное упрочнение.

(а) Изотропное упрочнение. В этой теории предполагается, что во время пластического течения поверхность текучести равномерно расширяется относительно начала координат в пространстве напряжений, сохраняя форму, центр и ориентацию, как показано на рис. 12.1. Например, траектория упругая; в точке материал находится в состоянии начального течения, и при дальнейшем нагружении поверхность текучести расширяется так, что точка А переходит в точку В. Траектория описывает изотропное деформационное упрочнение. Если мы осуществим разгрузку вдоль то деформирование будет происходить упруго, пока не будет достигнута точка С и материал снова не начнет пластически деформироваться. Если мы предположим, что непрерывно изменяющиеся поверхности текучести могут быть представлены функцией нагружения типа

где параметр упрочнения, текущее значение полных пластических деформаций элемента материала, и для пластических

состояний то для упругих состояний не имеет смысла.

Поскольку в процессе пластического деформирования точка, изображающая новое напряженное состояние, должна принадлежать вновь сформированной поверхности текучести, характеризуемой новым значением параметра упрочнения (где точка сверху будет использована для обозначения приращения: ), мы имеем

Используя постулат Друккера, мы получим ассоциированный закон пластического течения [1]

где неотрицательная скалярная переменная.

Поскольку параметр упрочнения является функцией пластической деформации, мы можем записать уравнение (12.2) как

Подставляя (12.3) в (12.4) и разрешая полученное уравнение относительно мы получаем

Поэтому приращение пластической деформации может быть получено из соотношения [2]

где

Выражение (12.6) вместе с упругой компонентой приращения деформации может быть записано как

Или

где тензор четвертого ранга инкрементальных упругопластических модулей материала. Уравнения (12.7) и (12.8) дают необходимые инкрементальные соотношения между напряжением и

деформацией для общего случая изотропного упрочнения. В частном случае, когда материал описывается теорией изотропного деформационного упрочнения Мизеса, уравнение (12.8) можно записать в явном виде:

где упругий модуль сдвига, интенсивность напряжений девиатор напряжений модуль пластического упрочнения, характеризующий текущий наклон пластической кривой напряжение — деформация при одноосном деформировании.

При подходящем выборе функции текучести и параметра упрочнения в уравнении (12.2) мы можем вывести уравнения, подобные (12.9), для изотропного течения и упрочнения любого материала 13-5].

(б) Кинематическое упрочнение. В теории пластичности с кинематическим упрочнением, первоначально разработанной Прагером [6], предполагается, что во время пластического деформирования поверхность нагружения (или поверхность текучести) переносится как жесткое тело в пространстве напряжений. При создании этой теории преследовалась цель дать описание эффекта Баушингера, который проявляется при циклическом нагружении металлов.

Рис. 12.2. Кинематическое упрочнение.

На рис. 12.2 показано типичное поведение материала при кинематическом упрочнении. Траектории нагружения отвечает упругое деформирование. В точке А начинается пластическое деформирование, и траектории нагружения А В соответствует упругопластическое кинематическое упрочнение. Перенос поверхности текучести во время этого нагружения приводит к перемещению ее центра из Любая разгрузка из В вдоль приводит к чисто упругому деформированию, пока траектория нагружения не достигнет С и материал снова не станет пластически деформироваться — теперь уже при меньшем пределе текучести.

Если предположить, что перенос центра поверхности текучести может быть представлен тензором то функцию нагружения можно записать в следующем виде:

и (при предположении, что перенос является функцией пластической деформации) условие непрерывности изменения функции при нагружении принимает вид

Уравнение (12.11) соответствует теории кинематического упрочнения Прагера, в которой постулируется, что перенос поверхности нагружения в девятимерном пространстве напряжений происходит в направлении внешней нормали к поверхности текучести, отвечающей текущему напряженному состоянию, и поэтому

где С теперь заменяет параметр упрочнения в уравнении (12.9). Подставляя выражения (12.3) и (12.12) в уравнение (12.11), мы можем найти множитель описывающий пластическое течение, и таким образом вывести инкрементальную зависимость между напряжением и деформацией тем способом, который применялся для изотропного упрочнения.

Эта теория первоначально предложена Прагером. Если изучить ее следствия в некоторых подпространствах пространства напряжений, то, как указывали Шилдс и Циглер [7], обнаруживаются некоторые противоречия. Чтобы исключить эти трудности, Циглер [8] предложил модификацию правила упрочнения Прагера, а именно вместо уравнения (12.12) предложил уравнение

где — положительный скалярный параметр.

На рис. 12.3 показаны различия между постулатами Циглера и Прагера. Приращение переноса в теории Циглера коллинеарно радиусу-вектору, проведенному из центра поверхности текучести О к изображающей точке в пространстве напряжений. Скалярная функция может быть определена с использованием «условия непрерывности», заключающегося в том, что

т. е.

Подстановка сюда выражения (12.13) дает

Рис. 12.3. Законы упрочнения Циглера и Прагера.

Чтобы определить пластическую деформацию, мы должны найти X в законе течения (12.3). Циглер допустил, что вектор есть проекция на внешнюю нормаль, проведенную через точку, изображающую мгновенное напряженное состояние, как показано на рис. 12.4. Это предположение согласуется с теорией пластичности, предполагающей «независимость от траектории нагружения в малом», и поэтому мы можем записать

Подставляя сюда выражение (12.3), мы имеем

Поэтому приращения пластической деформации даются формулой

Рис. 12.4. Закон кинематического упрочнения.

Можно сложить компоненты упругой и пластической деформации, чтобы получить полную зависимость напряжений от деформаций (уравнения (12.7) или (12.8)). В частном случае, если выбрать критерий текучести Мизеса, т.е. положить

где (что можно назвать приведенным напряженным состоянием) и а (приведенная интенсивность напряжений), мы можем записать явные соотношения между напряжениями и деформациями:

и

Интересно заметить, что, поскольку нормаль к поверхности текучести Мизеса коллинеарна линии, соединяющей центр поверхности текучести и текущую точку, соотношения между напряжениями и деформациями, выведенные из правил упрочнения Прагера и Циглера, становятся идентичными.

Исследуя случай одноосного нагружения, легко заметить, что соотношение между имеет вид Уравнения (12.9) и (12.16) суть зависимости напряжений от деформаций, которые йужны нам для проведения нелинейного анализа напряжений для материала Мизеса. Сходные зависимости напряжений от деформаций могут быть выведены [9] для любого материала, чтобы описать его поведение при монотонных и циклических нагр ужениях, если на основе опытных данных сделан надлежащий выбор функций текучести и параметров упрочнения. Интересная альтернативная модель кинематического упрочнения была предложена Мрузом Уравнения (12.9) и (12.16) можно проинтегрировать вдоль заданной траектории нагружения, что позволяет получить текущие состояния как напряжений, так и деформаций.

12.2.2. Вязкопластичность

Вязкопластическая модель часто используется для описания развивающегося во времени неупругого деформирования твердых тел. Одной из наиболее привлекательных особенностей этой модели Является то, что установившееся вязкопластическое течение оказывается альтернативным описанием упругопластического поведения.

В такой модели в дополнение к упругим деформациям есть вязкопластические деформации Как только превосходится определенное пороговое значение напряжений (такое, как предел текучести), возникает ненулевое значение . (Подробное описание текущего состояния вязкопластичности может быть найдено в обзоре Пэжины Вязкопластическая модель была использована Зенкевичем и Кормо [11—13] в весьма эффективном алгоритме МКЭ для анализа нелинейного деформирования.

В вязкопластичности точка, изображающая напряженное состояние, может находиться вне поверхности текучести, но тогда возникает ползучесть. Когда ползучесть прекращается, точка, изображающая напряженное состояние, возвращается на текущую поверхность текучести, тем самым реализуется некоторое упругопластическое решение, и поэтому зачастую можно использовать вязкопластичность как чисто фиктивное средство получения упругопластических решений. Кроме того, существует, конечно, много задач, в которых вязкопластическая модель используется, чтобы описать процесс деформирования во времени.

Вязкопластические деформации могут быть определены, если условие текучести имеет вид

предел текучести, который в свою очередь является функцией упрочнения соответствует чисто упругому деформированию. Если ввести пластический потенциал то можно получить скорость вязкопластической деформации [12]

где описывает вязкопластическое течение и может зависеть от определенных параметров состояния, таких, как время, инварианты тензора деформаций и т. п.

Чтобы обеспечить отсутствие вязкопластической деформации в упругом режиме, мы можем потребовать, чтобы функция удовлетворяла следующим условиям:

Достаточно общим для наших целей выражением для скорости пластической деформации является [12]

где у — параметр течения, который снова может быть функцией времени, инвариантов тензора деформаций и т. п. соответствующий параметр материала.

Если предполагается, что пластическое течение описывается ассоциированным законом течения (т. е. вектор приращения пластической деформации нормален к поверхности текучести в текущей точке), то с другой стороны, если при течении ассоциированный закон не выполняется, то функция пластического потенциала может быть выбрана отличной от F [5, 10, 12].

Путем определения поверхностей и (или) для данного материала и использования уравнений (12.19) и (12.20) мы можем записать уравнение (12.18) следующим образом [10, 12]:

Уравнение (12.21) отличается от уравнения, полученного для инкрементальной упругопластичности, в одном наиболее важном отношении — оно задает скорость вязкопластической деформации (или нелинейной деформации) как функцию текущего напряженного состояния. В инкрементальной теории пластичности тот факт, что скорости деформаций являются функциями не только текущего уровня напряжений, но также и приращений напряжений, является основным источником трудностей в процессе решения задач (ср. уравнения (12.21) и (12.7)).