6.7. Анализ осесимметричного напряженного состояния

Во многих практических случаях, включающих исследование упругих напряжений трехмерных тел, геометрия и система нагружения таковы, что могут быть разумно аппроксимированы трехмерной осесимметричной системой.

Рис. 6.3. Свая под действием аксиальной нагрузки.

Конечно, существует много действительно осесимметричных задач, подобных, например, представленной на рис. 6.3. В этой задаче рассматривается погруженная в упругий грунт аксиально нагруженная свая, диаметр основания которой больше диаметра основной цилиндрической части. Граница разбивается на ряд кольцевых элементов, показанных на рисунке. Использование осевой симметрии приводит поэтому к существенному уменьшению затрат труда на аналитическое решение задачи по сравнению с обычным трехмерным анализом. Авторы исследовали подобные задачи при помощи НМГЭ [31] почти десять лет назад. Керманидис опубликовал [32, 33] общее непрямое представление для осесимметричных задач, тогда как Круз, Сноу и Уилсон [34] при помощи ПМГЭ провели анализ совершенно общего случая, включающего температурные и центробежные нагрузки.

6.7.1. Фундаментальные решения

Необходимые для дальнейшего анализа фундаментальные сингулярные решения могут быть получены преобразованием решения, соответствующего общему трехмерному случаю, рассмотренному в § 6.2, к цилиндрической системе координат (см. разд. 5.5.2) и интегрированием различных функций вдоль кольца, как показано на рис. 6.4.

Рис. 6.4.

Этот подход был использован некоторыми исследователями [31, 33].

С другой стороны, Круз, Сноу и Уилсон [34] использовали векторное представление Галёркина сосредоточенной силы в цилиндрической системе координат. Для сохранения связи с осесимметричными анализом гл. 5 мы будем использовать первый подход (т. е. прямое интегрирование решения задачи о сосредоточенной силе в трехмерном случае из § 6.2).

Поле смещений, обусловленное радиальным кольцевым нагружением интенсивности можно получить из (6.1) в виде [33]

соответствующее поле, обусловленное аксиальным кольцевым нагружением интенсивности дается выражением

Здесь а полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно с модулем и дополнительным модулем Как было упомянуто в гл. 5, такие интегралы можно аппроксимировать полиномами. Мы можем переписать систему (6.47) в матричной форме:

Частные производные эллиптических интегралов, необходимые для вычисления деформаций, напряжений и усилий, представляются в виде

где Используя (6.48) и (6.49), можно вычислить деформации:

а из соотношений между напряжениями и деформациями найти напряжения:

Усилия на проходящей через точку поверхности с внешней нормалью (компоненты направлены по осям вычисляются по формулам [34]

где

Уравнения (6.48) — (6.52) дают нам все необходимые компоненты сингулярного фундаментального решения.

6.7.2. Прямое и непрямое представления

И прямое, и непрямое представления МГЭ следуют из решения о сосредоточенной силе. Например, непрямое представление во внутренней точке можно переписать в виде [заметим, что теперь координаты точки а координаты точки

где и нормаль для вычисляется в точке Аналогично непрямое представление во внутренней точке принимает вид

где и транспонированные матрицы

Мы можем снова использовать (6.53) и (6.54) или (6.55) для построения численного алгоритма решения краевой задачи, устремляя к границе точку поля в (6.53) и (6.54) или точку Вывод этого алгоритма в основном совпадает с выводом, предложенным в разд. 5.5.3 и работах [31, 34].

6.7.3. Объемные силы

Во многих прикладных задачах механики требуется исследовать трехмерное осесимметричное напряженное состояние с учетом стационарных температурных и центробежных сил; подобные задачи возникают в разных областях техники. Простейший подход вновь заключается в преобразовании интегралов, выведенных в §6.4, к их эквивалентной осесимметричной форме по указанной выше схеме. (Соответствующий осесимметричный анализ при помощи векторного представления Галёркина можно найти в [34].)