11.7. Пластины на упругом полупространстве

Тимошенко и Войновский-Кригер [9], следуя Холлу (1938 г.), рассмотрели решение в виде интегралов с бесконечными пределами для нагруженной пластины на произвольном упругом основании. Для основания в виде упругого полупространства это решение сводится к

где функция Бесселя нулевого порядка, модуль Юнга и коэффициент Пуассона полупространства соответственно. В принципе мы можем найти из (11.27) функции и использовать их непосредственно в формулировке НМГЭ (11.14) или ПМГЭ (11.21), (11.22), но при этом возникают весьма значительные трудности; более привлекательной представляется описанная ниже процедура.

Основное различие заключается в том, что пластина и полупространство рассматриваются раздельно как компоненты «двухзонной»

задачи с условиями совместимости на поверхности раздела пластина — основание.

В качестве примера рассмотрим представление ПМГЭ для вертикально нагруженной пластины с простейшим требованием непрерывности при переходе через гладкую поверхность раздела, относящимся только к вертикальным смещениям. (Заметим, что для непрерывности локальных поворотов дополнительно потребовались бы пары сил на поверхности раздела, а в случае полностью соединенной пластины возникали бы поверхностные усилия и, следовательно, мембранные силы.) Окончательная дискретизованная форма матричных уравнений ПМГЭ только для пластины будет иметь вид

здесь все коэффициенты матриц вектор нагрузки и половина полного числа компонент векторов до, известны. Скажем, различных значений каждой граничной переменной в левой части (11.28) будут составлять матрицу размером и вектор, члену соответствует произведение размером число нагруженных элементов, а последний член размером представляет вектор реакции основания действующий на всей разделенной на ячейки поверхности пластины, что приводит к наличию различных членов.

Такая же нагрузка действующая на полупространство, распределяется по системе идентичных поверхностных ячеек и приводит к вектору смещений размерности причем

Если основание моделируется набором пружин, то С будет диагональной матрицей; в другом случае матрица будет заполнена полностью. Элементы матрицы вычисляются при помощи решения Буссинеска, проинтегрированного по всем ячейкам (в случае однородного полупространства), или при помощи любого другого решения, соответствующего распределенной по поверхности анизотропного или неоднородного полупространства нагрузки.

При помощи уравнений ПМГЭ компоненты вектора также можно выразить через функции

Подстановка (11.29) в (11.30) приводит к уравнению, связывающему в, Затем можно исключить из этого уравнения и уравнения (11.28) и получить уравнений для неизвестных компонент . После этого (11.28) приводит Это, конечно, известная процедура решения задач о

взаимодействии основания и сооружения, снова иллюстрирующая преимущества МГЭ, который позволяет очень удобно рассматривать поверхности раздела, на этот раз связывая границу одной зоны с внутренними ячейками другой.