14.2.4. Симметричный ПМГЭ для задач теории упругости

Очевидно, что вывод соотношений ПМГЭ не основан на процедуре использования базисных функций, описанной в предыдущем разделе, и поэтому метод взвешенных невязок не может быть использован для того, чтобы получить в этом случае симметричную систему уравнений. Тем не менее для упругой системы мы можем рассмотреть функционал полной энергии

При помощи соотношений между деформациями и смещениями объемный интеграл может быть выражен через смещения:

Применяя теорему Гаусса — Остроградского и используя в (14.15) уравнения равновесия в напряжениях, получаем

Подставляя (14.16) в (14.14) и полагая приведем функционал полной энергии к виду [7]

или — в матричных обозначениях — к виду

Задаваясь подходящей аппроксимацией

где базисные функции, мы можем записать (14.18) в виде

Следует отметить, что базисные функции вообще говоря, не обязательно должны быть одинаковыми.

Рассмотрим теперь граничное интегральное уравнение, соответствующее прямому методу

которое, следуя обычной процедуре МГЭ, можно записать в матричной форме:

здесь изменения на граничных элементах совпадают с изменениями, заданными соотношениями (14.19), но (для того чтобы обе матрицы были квадратными). Если мы перепишем уравнение (14.22) в виде

то оно уже может быть использовано для исключения из (14.20). Однако если это соотношение используется, то из-за ошибок округления результат может не удовлетворять уравнениям равновесия с достаточной степенью точности [7]. Это затруднение преодолевается путем введения вспомогательного уравнения равновесия

дискретная форма которого имеет вид

Узловые значения сил находятся из комбинации этого уравнения и уравнения (14.22), т. е. из уравнения

где X (для двумерных задач) — двухкомпонентный вектор множителей Лагранжа. В данном случае роль этих множителей сводится к

введению ограниченных возмущений в каждое из уравнений (14.22), так что (14.25) может быть удовлетворено сколь угодно точно.

Уравнения (14.25) и (14.26) теперь можно переписать в виде системы

из которой узловые значения сил могут быть найдены с помощью обычной матричной алгебры:

Если теперь мы подставим (14.28) в (14.20), то получим следующее выражение для функционала:

где

Условия минимума функционала сводятся к равенству

и так как это равенство должно выполняться при произвольных вариациях то

что в свою очередь приводит к окончательной системе уравнений

где

Уравнение (14.31) является уже симметричной формой основного соотношения ПМГЭ [7, 8].

Интересно отметить, что другое симметричное соотношение ПМГЭ может быть получено при помощи очень простого приема. Действительно, узловые значения сил соответствующих поверхностным воздействиям на границе, даются выражениями

где матрица базисных функций для смещений.

Подставляя граничные базисные функции (14.19) и соотношение (14.28) между узловыми значениями нагрузок и смещений в (14.32), получаем связь между силами и смещениями

Матрица К в общем случае является несимметричной, и, следовательно, условия теоремы взаимности Максвелла — Бетти не выполняются. Для получения симметричных уравнений матрицу К можно заменить на

что приводит к соотношению, внешне сходному с (14.31). Однако (14.34) является чисто интуитивной модификацией (14.33), и его единственное обоснование состоит в том, что оно приводит к тому же самому уравнению, что и при использовании энергетического метода [7].